Question

1. para que valores complexos de k o polinômio P(x) = (2k^2 - 18)x^4 + 3x - 2 possua grau 4? 2. Obtenha k de modo que o polinômio P(x) = (k^2 - 5k)x^3 + (k^2 - 6k + 5)x^2 + k^2 - 25 seja identicamente nulo. me ajudemmmmm

Answer 1

Olá Isahrodrigues7ouxqku, neste exercício vamos explorar um pouco sobre os polinômios onde a variável é complexa. Vamos lá!

Resposta:

1) $k \neq 3$ e $k \neq -3$

2) $k=5$

Explicação passo-a-passo:

1) Temos:

$P(x)=(2k^2-18).x^4+3x-2$

Observe que, para que o polinômio $P(x)$ tenha grau 4, o coeficiente que acompanha $x^4$ deve ser não nulo (para que não ocorra de multiplicar $x^4$ por zero). Assim:

$2k^2-18 \neq 0 \Rightarrow 2k^2 \neq 18 \Rightarrow k^2 \neq \frac{18}{2}$

$k^2 \neq 9 \Rightarrow k \neq +_- 3$

Portanto, k não pode ser -3 e +3.

2) Temos:

$P(x)=(k^2-5k).x^3+(k^2-6k+5).x^2+(k^2-25)$

Para que $P(x)$ seja identicamente nulo, devemos ter $P(x)=0$. Sendo assim, todos os coeficientes que acompanham as diferentes potências de x, devemos ser nulos. Logo:

$k^2-5k=0 \Rightarrow k.(k-5)=0 \Rightarrow k=0 ou k-5=0$

$k=0 ou k=5$

Além disso:

$k^2-6k+5=0$

Por bhaskara, temos as soluções:

$k_1=\frac{6+\sqrt{36-4.1.5}}{2.1}=\frac{6+\sqrt{16}}{2}=\frac{22}{2}=11$

$k_2=\frac{6-\sqrt{36-4.1.5}}{2.1}=\frac{6-16}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

Por fim:

$k^2-25=0 \Rightarrow k^2=25 \Rightarrow k=+_-\sqrt{25}$

$k=+_-5$

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!