Question

1 - Para quais valores de n temos n!=1? 1 ponto a) n=0 , n=2 e n=1 b) n=1 e n=2 c) n=0 e n=1 d) Somente para n=0 2 - Com os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever? 1 ponto a) 14 b) 24 c) 32 d) 12

Answer 1

Resposta:1 c) n=0 e n=1

2 b) 24

Explicação passo-a-passo: Google classroom

Answer 2

Utilizando conceitos de fatorial e analise combinatória de permutações, obtemos os resultados:

• 1) n = 0 e n = 1, letra C.
• 2) 24, letra B.

Explicação passo-a-passo:

1)

Primeiramente vamos definir o que é um fatorial. Esta é a operação aplicavel somente a números inteiros positivos (desconsiderando a existência da função gama) que funciona sendo a multiplicação de todos os inteiros antecessores do valor até até que se chegue em 1, da forma:

n! = n . (n-1) . (n-2) ... 3 . 2 . 1

Exemplos:

3! = 3 . 2 . 1

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Assim se queremos um valor fatorial que seu resultado seja igual a 1, a uma primeira instancia parece ser obvio que somente 1! seria:

1! = 1

Porém 0! também tem este valor, e é possível provar.

Prova: Note que qualquer valor acima de 0 fatorial pode ser escrito em função de outro, da forma:

10! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 9.8.7.6!

Pois:

6! = 6.5.4.3.2.1

E pode fazer está simplificação em qualquer ponto da fatorial, até exatamente um valor depois:

10! = 10.9!

Assim um valor fatorial qualquer n, pode ser escrito como:

n! = n . (n-1)!

Se substituirmos n por 1, já que n pode ser qualquer valor acima de 0, obtemos que:

1! = 1 . (1-1)! = 1 . 0!

Porém sabemos que 1! é 1, então:

1 . 0! = 1

0! = 1

E assim portanto, somente os valores 0! e 1! tem resultado igual a 1, letra C.

2)

Nesta questão possuímos quatro algarismos diferentes:

2 , 3 , 6  e 8

E queremos saber quantos números diferentes podemos formar com estes quatro algarismos sem repetir, ou seja, queremos basicamente saber de quantas formas conseguimos embaralhar estes quatro algarismos.

Sempre que lidamos com problemas de combinações, onde o resultado é um 'embaralhamento' de objetos, a forma de se calcular este é por meio de uma permutação.

Permutações é calculada forma: Se temos N termos que queremos embaralhar e alguns termos são repetidos, por exemplo 'R1' vezes um dos termos, 'R2' vezes outro termo e etc. Então a formula de permutação é dada por:

$P=\frac{N!}{R_1! . R_2! . R_3! .... R_{ultimo}}$

Ou seja, é o valor de termos fatorial, dividido por todas as quantidades de repetições fatoriais.

Neste caso tem 4 termos (2, 4, 6 e 8) e nenhuma repetição, então nosso calculo é muito mais simples:

$P=N! = 4! = 4.3.2.1 = 24$

Assim temos que com estes quatro algarismos, podemos formar 24 números distintos de 4 algarismos e sem repetição. Letra B.

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