Question

1) Para cada uma das equações escreva quais são os coeficientes, as incógnitas, o termo independente e classifique
em equação linear e não linear.
a) 2x + 4y – 3z = 1 b) 3x + y – 1 = 0 c) x 2 + y 2 = 0 d) xy -2z + 3t = 4

2) Verifique quais dos pares ordenados são soluções da equação linear 5x – 3y = 1.
a) (2, 3) b) (8, 5) c) (23, 38)

3) Determine quais das ternas são soluções da equação linear 2x – 3y + z = 15
a) (1, -2, 4) b) (2, 2, -3) c) (4, -2, 1)

4) Verifique se (-1, 2) é solução do sistema a baixo.
$\left \{ {{a - 4b = -9} \atop {3a + b = -1}} \right.$

5) Determine o conjunto solução do sistema a seguir.
$\left \{ {{2x - y = 15} \atop {x + 3y = 25}} \right.$

Answer 1

1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema.

2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas

a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita

De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por:

a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c

Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas.

 

método da comparação

método da adição

método da substituição

Método da substituição

O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação.

EX:

1º passo: isolar uma das incógnitas.

I → x + 2y = 5

I → x = 5 – 2y

2º passo: substituir I em II.

Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y.

II → 3x – 5y = 4

Substituindo x por 5 – 2y:

3 (5 – 2y) – 5y = 4

Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.

Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I.

I → x = 5 – 2y

x = 5 – 2 · 1

x = 5 – 2

x = 3

Então a solução do sistema é S = {3,1}.

Método da comparação

O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores.

Exemplo:

1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que:

2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x.

3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.

x = -4 – 3y

x = -4 – 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Método da adição

O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero.      

Exemplo:

I → 5x – 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2º passo: realizar a soma I + 2 · II.

3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações.

 

 

 

Sistemas lineares com três equações do 1º grau e três incógnitas

Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos relac

Exemplo:

O sistema  

Pode ser representado pela matriz completa

E pela matriz incompleta

Regra de Crammer

Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:

D → determinante da matriz incompleta do sistema.

Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes.

Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes.

Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes.

Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema.

Exemplo:

1º passo: calcular D.

2º passo: calcular Dx.

3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois:

4º passo: calcular Dy.

5º passo: então podemos calcular o valor de y:

6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz.

Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação:

2x + y – z = 3

2 · 0 + 2 – z = 3

0 + 2 – z = 3

-z = 3 – 2

-z = -1 (-1)

z = -1

Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1).

Acesse também: Resolução de problemas por sistemas de equação  

Escalonamento

Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir.

Analisando a segunda linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, com objetivo de zerar o termo a21.

a21 = -2 · 1 + 2 = 0

a22 =  -2 · 2 + 1 = -3  

a23 = -2 · (-3) + 1 = 7

a24 =  -2 · 10 + 3 = -17

Então a L2 será 0  -3  7  -17.

Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31.

a31 = 3 · 1 – 3 = 0

a32 = 3 · 2 + 2 = 8

a33 = 3 · (-3) +1 = -8

a34 = 3 · 10 – 6 = 24

Então a L3 será  0  8  -8  24.

L3 → L3 : 8 será: 0  1  -1  3.

Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3.

a31 = 0 + 3 · 0 = 0

a32 = -3 + 3 · 1 = 0

a33 = 7 + 3 · (-1) = 4

a34 = -17 + 3 · 3 = -8

Então L3 será: 0  0  4  -8.

A nova matriz escalonada será:

Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação:

Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para encontrarmos o valor de x.

 Sistema de inequações de 1º grau – como resolver?

a) 72 cm e 96 cm

b) 144 cm e 24 cm

c) 96 cm e 72 cm

d) 24 cm e 144 cm

Resolução

Alternativa C.

Seja h → altura e b → base, então temos o seguinte sistema:

Pelo método da adição, temos que:

Para encontrar o valor de h, vamos substituir b = 96 cm na primeira equação:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 – 96

h = 72 cm