Question

1) Para cada função determine:

a) os zeros da função;
b) o valor máximo ou mínimo; (com o gráfico!!)

y = x² - 6x + 5

y = 4x² - 6x

y = -2x² - 1 + 4x

Answer 1

Vamos lá.

Dadas as funções abaixo:

i) y = x² - 6x + 5
ii) y = 4x² - 6x
iii) y = -2x² + 4x - 1

pede-se:

a) Os zeros de cada função (veja:  os zeros de uma função significam as raízes dessa função. Como toda raiz zera a função da qual é raiz, então é por isso que se diz: encontre os "zeros" da função tal, o que significa: encontre as raízes da função tal).
Bem, então vamos encontrar as raízes (ou os zeros) de cada uma das funções dadas acima.

a.i) y = x² - 6x + 5 ----- Para encontrar as raízes fazemos "y" = 0. Assim:

x² - 6x + 5 = 0 ------ agora aplicaremos Bháskara e vamos encontrar as seguintes raízes:

x' = 1; e x'' = 5 <----- Estas são as raízes (ou os zeros) da primeira função.

a.ii) y = 4x² - 6x -------- fazendo "y" = 0, teremos:

4x² - 6x = 0 -------- vamos pôr "x" em evidência, ficando:
x*(4x - 6) = 0 ---- Veja: temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores deverá ser nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
4x-6 = 0 ---> 4x = 6 ---> x = 6/4 ---> x'' = 3/2 (após dividirmos numerador e denominador por "2").

Assim, como você viu, as raízes (ou os zeros) desta função são:

x' = 0; x'' = 3/2  <---- Estas são as raízes (ou os zeros) da segunda função.

a.iii) y = - 2x² + 4x - 1 ----- fazendo "y" = 0, teremos:

-2x² + 4x - 1 = 0 ------ Agora vamos aplicar Bháskara e encontraremos as seguintes raízes:

x' = 1 - √(2)/2; e x'' = 1 + √(2)/2 <--- Estas são as raízes (ou zeros) da terceira equação.

b) O valor máximo ou mínimo (com gráfico).

b.i) y = x² - 6x + 5

Veja: como o termo "a" é positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²), então teremos um ponto de mínimo, que será dado pelo vértice (xv; yv) do gráfico (parábola) da função. As coordenadas do vértice são encontradas da seguinte forma:

xv = -b/2a ------ fazendo as devidas substituições, teremos;
xv = -(-6)/2*1
xv = 6/2
xv = 3 <--- Este é o "x" do vértice.

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- fazendo as devidas substituições, temos:
yv = - ((-6)² - 4*1*5)/4*1
yv = - (36 - 20)/4
yv = - (16)/4
yv = -16/4
yv = - 4 <---- Este é o "y" do vértice.

Assim, o vértice (xv; yv) será o ponto (3; -4)

Como aqui no Brainly eu não sei construir gráficos,então veja o gráfico no endereço abaixo e constate tudo o que dissemos sobre o gráfico desta função.

 http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%C2%B2+-+6x+%2B+5

b.ii) y = 4x² - 6x ----- veja que esta equação é incompleta. Falta-lhe o termo "c", que é o termo independente. Assim, poderemos completar com "0", ficando assim:

y = 4x² - 6x + 0 ----- agora vamos encontrar o vértice (xv; yv)

Note que vamos ter também um ponto de mínimo, pois o termo "a" é positivo (o termo "a" você já sabe "quem é", pois isso já foi informado no item anterior).

xv = -b/2a ----- fazendo as devidas substituições, teremos;
xv = -(-6)/2*4
xv = 6/8 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
xv = 3/4 <--- Este será o "x" do vértice.

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- fazendo as devidas substituições, teremos;
yv = - ((-6)² - 4*4*0)/4*4
yv = - (36 - 0)/16
yv = - (36)/16 --- ou apenas:
yv = -36/16 ---- dividindo-se numerador e denominador por "4", teremos:
yv = - 9/4 <--- Este é o "y" do vértice.

Assim, o vértice (xv; yv) desta função será o ponto: (3/4; -9/4)

Quanto ao gráfico, vale o que dissemos no item anterior, ou seja, veja o gráfico no endereço abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+4x%C2%B2+-+6x

b.iii) y = - 2x² + 4x - 1

Veja: como o termo "a" da função acima é negativo, então iremos ter um ponto de máximo no vértice da parábola (xv; yv).
Vamos calculá-los:

xv = -b/2a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
xv = -4/2*(-2)
xv = - 4/-4 --- ou:
xv = 4/4
xv = 1 <--- Este é o "x" do vértice da função acima.

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
yv = - [4² - 4*(-2)*(-1)]/4*(-2)
yv = - [16 - 8]/-8
yv = - (8)/-8 --- ou apenas:
yv = -8/-8 --- ou ainda:
yv = 8/8
yv = 1 <---- Este é o "y" do vértice da função acima.

Assim, o vértice (xv; yv) será o ponto: (1; 1)

Quanto ao gráfico, vale o que informamos nos itens anteriores, ou seja, veja o gráfico no endereço abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-+2x%C2%B2+%2B+4x+-+1

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.