Question

1) Obter a equação da reta tangente e normal ao gráfico das funções:
a) f(x) = (3sen x + cos x)^5 em x = pi

b) f(x) = x^2 em x=5

c) f(x)= x^2 - 5x + 6 em x = 2

Answer 1

Resposta:

a) "15X + Y + 1 - 15π = 0" e "X/15 - Y - π/15 - 1 = 0"

b) "10X - Y - 25 = 0" e "X/10 + Y - 25,5 = 0"

c) "X + Y - 2 = 0" e "X - Y - 2 = 0"

Explicação passo-a-passo:

Para obter a equação da reta tangente e da reta normal, segue o passo-a-passo:

Reta Tangente

1º - Encontrar a derivada da função fornecida e substituir, caso existam, as variáveis X e Y pelas coordenadas do ponto fornecido. O resultado disso será o coeficiente angular da reta tangente.

2º - Utilizar o coeficiente angular da reta tangente e as coordenadas do ponto fornecido para encontrar a equação fundamental da reta, a partir da equação: Y - Y0 = M(X - X0)

Reta Normal

Repita os passos utilizados na reta tangente, porém utilize o coeficiente angular da reta normal, que é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente.

Utilizando esses conceitos, temos que:

a) f(x) = (3senx + cosx)^5, em X = π

Como os itens só nos forneceram o X, iremos encontrar o Y ao substituir o X nas equações fornecidas. Então:

f(π) = (3senπ + cosπ)^5

f(π) = (3senπ + cosπ)^5 // π = 180º, sen180º = 0, cos180º = -1

y = (3.0 + -1)^5

y = (-1)^5

y = -1

Então temos, que as coordenadas do ponto são: P(π, -1)

Agora, iremos calcular a derivada da função fornecida para achar o coeficiente da reta tangente:

y = (3senx + cosx)^5

(y)' = [(3senx + cosx)^5]' // Lembre-se da regra da cadeia!!!

y' = 5(3senx + cosx)^4 . (3senx + cosx)'

y' = 5(3senx + cosx)^4 . [(3)'.senx + 3(senx)' + (cosx)']

y' = 5(3senx + cosx)^4 . [3cosx + (-senx)]

y' = 5(3senx + cosx)^4 . (3cosx - senx)

Agora só substituir o x pela coordenada do ponto fornecido

y' = 5(3senπ + cosπ)^4 . (3cosπ - senπ)

y' = 5[3.0 + (-1)]^4 . [3.(-1) - 0]

y' = 5(-1)^4 . (-3)

y' = 5.1.(-3)

y' = -15

Logo, sabendo que o coeficiente angular da reta tangente é igual a derivada da função fornecida, temos que:

Mt = -15

Para obter a equação da reta tangente basta substituir o coeficiente angular da reta tangente (Mt) e as coordenadas do ponto na equação fundamental da reta (Substitua a coordenada X do ponto fornecido no X0, e a coordenada Y do ponto fornecido no Y0):

Y - Y0 = M(X - X0) // P(π, -1), M = Mt

Y - (-1) = -15(X - π)

Y + 1 = -15X + 15π

Ordenando a equação para obter a equação geral da reta, temos:

15X + Y + 1 - 15π = 0 (Equação da reta tangente)

Para achar a equação da reta normal, basta calcular o coeficiente angular da reta normal, que é o oposto e o inverso do coeficiente angular da reta tangente

Mn = -1 / Mt

Mn = - 1 / -15

Mn = 1/15

Agora, basta repetir o processo anterior:

Y - Y0 = M(X - X0) // M = Mn

Y - (-1) = (1/15).(X - π)

Y + 1 = X/15 - π/15

0 = X/15 - π/15 - Y - 1

X/15 - Y - π/15 - 1 = 0 (Equação da reta normal)

Agora que você entendeu o processo, basta repetir o mesmo para os outros itens!

b) f(x) = x^2, em x = 5

f(5) = 5^2

y = 25

Logo, P(5, 25)

y = x^2

(y)' = (x^2)'

y' = 2x

Mt = 2x

Mt = 2.5

Mt = 10

Portanto:

Y - Y0 = M(X - X0)

Y - 25 = 10(X - 5)

Y - 25 = 10X - 50

0 = 10X - 50 - Y + 25

10X - Y - 25 = 0 (Equação da reta tangente)

Mn = -1 / Mt

Mn = -1 / 10

Mn = -1/10

Y - Y0 = M(X - X0)

Y - 25 = (-1/10).(X - 5)

Y - 25 = -X/10 + 5/10

Y - 25 + X/10 - 5/10 = 0

X/10 + Y - 25 - 1/2 = 0

X/10 + Y - 25 - 0,5 = 0

X/10 + Y - 25,5 = 0 (Equação da reta normal)

c) f(x) = x^2 - 5x + 6, em x = 2

f(2) = 2^2 - 5.2 + 6

f(2) = 4 - 10 + 6

y = 0

Logo, P(2,0)

y = x^2 - 5x + 6

(y)' = (x^2 - 5x + 6)'

y' = 2x - [(5)'x + 5(x)'] + 0

y' = 2x - (0x + 5.1) + 0

y' = 2x - 5

Mt = 2x - 5

Mt = 2.2 - 5

Mt = 4 - 5

Mt = -1

Portanto:

Y - Y0 = M(X - X0)

Y - 0 = -1.(X - 2)

Y = -X + 2

Y + X - 2 = 0

X + Y - 2 = 0 (Equação da reta tangente)

Mn = -1 / Mt

Mn = -1 / -1

Mn = 1

Y - Y0 = M(X - X0)

Y - 0 = 1(X - 2)

Y = X - 2

0 = X - 2 - Y

X - Y - 2 = 0 (Equação da reta normal)