Question

1) Obtenha o número complexo resultante de (3-2i).(3-2i)

2) Fazendo Z=A+BI, obtenha o número complexo que verifica a igualdade: Z+2Z(conjugado 2Z) =7-5i

3)Divida o seguinte número complexo Z=3+i/2i

4) Sendo Z=2+3i e W= -3+4i, obtenha os números complementares resultantes de Z² e W², usando a distribuitiva

5) Utilize o produto notáveis para obter Z=(3-2i)

6) O números complexos Z e W são definidos por Z= 1+(c-3)i e W=2y-i Considerado que Z+W=3-5i, obtenha X e Y

7) Dados os números complexos Z=4+2i e Z2= 4+6i, calcule Z1/Z2(conjugado)

Answer 1

O número complexo que resulta na multiplicação $(3 - 2i)*(3-2i)$ é $5 - 12i$.

O número complexo que verifica a igualdade $Z +2\overline{Z} = 7 - 5i$ é

$Z = \frac{7}{3} + 5i$.

A divisão de $Z= \frac{3 + i}{2i}$ é dada pelo número complexo $\frac{-3i +1}{2}$.

Os números complexos resultantes de $Z^2$ e $W^2$ são $Z^2 = -5 -12i$ e $W^2 = -7-24i$.

Pelo uso de produtos notáveis, temos que o número complexo Z é equivalente a $5 + 12i$.

Considerando a igualdade $Z + W = 3-5i$, temos que $x = -1$ e $y = 1$.

Por fim, dados $Z_1 = 4 +2i$ e $Z_2 = 4+6i$,  $\frac{Z_1}{\overline{Z_2}}$ é dado por $\frac{28 - 16i}{52}$.

Para entendemos melhor sobre esses resultados, podemos aprender mais sobre números complexos.

Saiba mais sobre números complexos.

Os números complexos são compostos por uma parte real ($a$) e uma parte imaginária $(bi$, onde $i = \sqrt{-1}$), representados pela forma algébrica $Z = a + bi$.

Eles servem para que possamos resolver equações que possuem raiz de números negativos, que não são partes do conjunto dos números reais.

• Obtendo o número complexo resultante de $(3 - 2i)*(3-2i)$:

Basta aplicarmos a propriedade distributiva e fazermos a manipulação de ser resultado, de modo que:

$(3 - 2i)*(3 - 2i) = 9 - 6i - 6i +4i^2 = 9 - 12i + 4i^2$

Entretanto, temos que $i = \sqrt{-1}$, logo, $i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$. Substituindo esse valor na equação, obtemos:

$9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$

Portanto, o número complexo resultante de $(3 - 2i)*(3-2i)$ é $5 - 12i.$

• Obtendo o número complexo que verifica a igualdade $Z +2\overline{Z} = 7 - 5i$:

Temos que o conjugado de um número complexo é quando o mesmo assume a forma $\overline{Z} = a - bi$. Portanto, basta substituirmos esses valores na nossa equação:

$a + bi + 2*(a - bi) = 7 - 5i \Rightarrow$  $a + bi + 2a - 2bi = 7 - 5i$

Portanto, temos:

$3a - bi = 7 - 5i$

Com isso, podemos igualar a parte real do lado esquerdo da equação com a parte real do lado direito da equação, de modo que:

$3a = 7 \Rightarrow a = \frac{7}{3}$

E igualar a parte imaginária do lado esquerdo da equação com a parte imaginária do lado direito da equação:

$- bi = -5i \Rightarrow b = 5$

Portanto, o número complexo que verifica a igualdade $Z +2\overline{Z} = 7 - 5i$ é

$Z = \frac{7}{3} + 5i$.

• Realizando a divisão de $Z=\frac{3+i}{2i}$:

Para realizar a divisão de um número complexo, devemos seguir o molde:

$\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{Z_1}{Z_2}*\frac{ \overline{Z_2}}{ \overline{Z_2}}$

A partir disso, fazemos:

$\frac{3+i}{2i} = \frac{3+i}{2i} * \frac{-2i}{-2i} = \frac{(3+i)(-2i)}{(2i)*(-2i)} = \frac{-6i -2i^2}{-4i^2}$

Lembrando que $i = \sqrt{-1}$, logo, $i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$, podemos substituir esse valor na equação, de modo que:

$\frac{-6i -2i^2}{-4i^2} = \frac{-6i -2*(-1)}{-4*(-1)} = \frac{-6i +2}{4} = \frac{-3i +1}{2}$

Ou seja, a divisão do número complexo $Z=\frac{3+i}{2i}$ resulta em $\frac{-3i +1}{2}$.

• Obtendo, usando a distributiva, os números complexos resultantes de $Z^2$ e $W^2$, dado que  $Z=2+3i$ e $W= -3+4i$:

Aplicando a propriedade distributiva, podemos fazer:

$Z^2 = (2+3i)^2 = (2+3i)*(2+3i) = 4 + 6i + 6i + 9i^2 = 4 + 12i + 9i^2$

$W^2 = (-3 + 4i)^2 = (-3 + 4i)*(-3 + 4i) = 9 - 12i - 12i + 16i^2 = 9 - 24i +16i^2$

Lembrando que $i = \sqrt{-1}$, logo, $i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$, podemos substituir esse valor na equação, de modo que:

$Z^2 = 4+12i+9*(-1) = 4+12i-9 = -5 - 12i$

$W^2 = 9 -24i +16*(-1) = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$

Logo, os números complexos resultantes de $Z^2$ e $W^2$ são $Z^2 = -5 -12i$ e $W^2 = -7-24i$.

• Utilizando produto notáveis para obter $Z = (3 - 2i)^2$:

Produtos notáveis são fórmulas gerais para multiplicação de termos. No nosso caso, podemos utilizar o produto notável:

$(a-b)^2 = a*a - a*b - b*a + b*b = a^2 - 2*a*b + b^2$

Como, para nosso caso, $a = 3$ e $b = 2i$, fazemos:

$Z = (3 - 2i)^2 = (3)^2 - 2*(3)*(2i) + (2i)^2 = 9 + 12i + 4i^2$

Substituindo $i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$, temos:

$Z = 9+12i+4*(-1) = 9 +12i - 4 = 5+12i$

Portanto, pelo uso de produtos notáveis, temos que o número complexo Z é equivalente a $5 + 12i$.

• Dados $Z = 1+(x-3)i$ e $W = 2y - i$, obtendo $x$ e $y$ considerando a igualdade $Z + W = 3-5i$:

Substituindo os valores dos números complexos $Z$ e $W$ na nossa igualdade, obtemos:

$(1 + (x - 3)i) + (2y - i) = 3 - 5i \Rightarrow 1+ xi - 3i+2y - i = 3 - 5i$

Realizando a manipulação de valores, obtemos:

$1 + xi - 3i + 2y - i = 3 - 5i \Rightarrow 5i - 3i - i + xi +2y + 1 - 3 = 0 \Rightarrow i + xi + 2y -2 = 0$

Desse modo, podemos escrever:

$2y + xi = 2 - i$

Pela propriedade da igualdade dos número complexos, podemos igualar a parte real do lado esquerdo da equação com a parte real do lado direito da equação, de modo que:

$2y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{2} = 1$

Concomitantemente, podemos igualar a parte imaginária do lado esquerdo da equação com a parte imaginária do lado direito da equação:

$xi = -i = (-1)*i \Rightarrow x = -1$

Portanto, os valores de $x$ e $y$ são dados por $x = -1$ e $y =1$.

• Dados os números complexos $Z_1 = 4 +2i$ e $Z_2 = 4+6i$, calculando $\frac{Z_1}{\overline{Z_2}}$.

Primeiro, precisamos transformar $Z^2$ em $\overline{Z_2}$. Como $\overline{Z} = a - bi$, basta escrevermos $\overline{Z_2} = 4 - 6i$.

Seguindo o molde:

$\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{Z_1}{Z_2}*\frac{ \overline{Z_2}}{ \overline{Z_2}}$

Pela propriedade dos números complexos, temos que o conjugado do conjugado de um número complexo $Z$ é o próprio número complexo $Z$.

Com isso, escrevemos:

$\frac{4+2i}{4-6i} = \frac{4+2i}{4-6i} *\frac{ 4+6i}{ 4+6i} = \frac{(4+2i)(4-6i)}{(4-6i)(4+6i)} = \frac{16 - 24i + 8i -12i^2}{16 +24i - 24i - 36i^2} = \frac{16 - 16i - 12i^2}{16 - 36i^2}$

Substituindo $i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$, temos:

$\frac{16 - 16i - 12i^2}{16 - 36i^2} = \frac{16 - 16i - 12*(-1)}{16 - 36*(-1)} = \frac{16 - 16i + 12}{16 + 36} = \frac{28 - 16i}{52}$

Portanto, com $Z_1 = 4 +2i$ e $Z_2 = 4+6i$,  $\frac{Z_1}{\overline{Z_2}}$ é dado por $\frac{28 - 16i}{52}$.

Saiba mais sobre números complexos em: https://brainly.com.br/tarefa/22693420

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