Question

1=Observando a sequência que montei você consegue me dizer quantos Palitos foram usados a mais no segundo triângulo em relação ao primeiro. Além disso Qual a relação entre a quantidade e o padrão que se forma em relação ao terceiro triângulo?

2= ainda nessa linha de raciocínio se eu continuar montar os triângulos em relação ao padrão de Formação, você vai perceber que a quantidade de triângulos a serem construídos e Palitos a serem usados também aumentam. Como se dá a Esse aumento?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1° São 6 palitos a mais que o primeiro triângulo, O segundo e terceiro triângulo possuem relação apenas na forma geométrica, pois em tamanho e em quantidade de palitos são diferentes.

2° O aumento seria de um triângulo a mais que o da terceira imagem. obtendo assim quatro triângulos com 12 palitos a mais.

Answer 2

Utilizando relação de progressão aritmetica (P.A.), sabemos como o número de triangulos e palitos crescem nesta figura é dado pelas formulas:

$Triangulos_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$Palitos_n=\frac{3n(n+1)}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Note que a quantidade de palitos é sempre 3 vezes a quantidade de triangulos pequenos, então vou usar somente a quantidade de triangulos pequenos e no fim multiplicar por 3.

Sabendo disto nossa sequência é de:

1

3

6

...

Vemos que o número que somamos para obter o próximo é sempre 1 maior que o anterior, note:

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

Assim conseguimos prever os proximos termos:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

....

E podemos inclusive escrever uma formula para sabermos quantos triangulos pequenos há na figura, pois esta é a soma da progressão aritmetica dada por:

( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... )

E sabemos que progressão aritmetica tem formulas para termo geral, dada por:

$A_n=A_1+R.(n-1)$

Onde 'A1' é o primeiro termo, 'An' é o n-ésimo termo e 'R' é a razão, ou seja, valor que adicionamos para chegar ao proximo desta sequência. No nosso caso sabemos que o primeiro termo é 1 e a razão é 1, pois aumentamos de 1 em 1, ou seja:

$A_n=1+1.(n-1)$

$A_n=1+n-1$

$A_n=n$

Assim fica obvio que qualquer termo desta sequência é simplesmente definido pela sua posição 'n'.

E tendo isso podemos usar a formula de soma de progressão aritmetica, dada por:

$S_n=\frac{n}{2}(A_1+A_n)$

Substituindo nosso valors, temos que:

$S_n=\frac{n}{2}(1+n)$

$S_n=\frac{n(1+n)}{2}$

$S_n=\frac{n^2+n}{2}$

Assim como esta é a formula da soma de qualquer valor de 1 até n, então esta é a formula que nos diz a quantidade de triangulos para qualquer ordem da figura e se quisermos a quantidade de palitos, basta multiplicar por 3:

$Triangulos_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$Palitos_n=\frac{3n(n+1)}{2}$

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