Question

1) O vetor de coordenadas u=(11,14) em relação a base B=[(2,3);(7,8)] é:

Escolha uma:

a. 2.V1 + 2.V2
b. 2.V1 + V2
c. 3.V1 + 2. V2
d. 3.V1 + 2.V2

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2) O vetor de coordenadas u=(1,26) em relação a base B=[(-1,4);(2,7)] onde v1=(-1,4) e v2= (2,7).

Escolha uma:

a. 3V1 + 3V3
b. V1 + V2
c. 3V1 + 2V2
d. 2V3 + 2V2

Answer 1

1)

Sendo B a base do plano, qualquer vetor nesse plano pode ser escrito como a combinação linear de v₁ e v₂

$\vec{u}=\alpha\vec{v_{1}}+\beta\vec{v_{2}}\\(11,14)=\alpha(2,3)+\beta(7,8)\\(11,14)=(2\alpha,3\alpha)+(7\beta,8\beta)\\(11,14)=(2\alpha+7\beta,3\alpha+8\beta$

Então:

$\begin{cases}2\alpha+7\beta=11\\3\alpha+8\beta=14\end{cases}$

Isolando 2α na primeira equação:

$2\alpha=11-7\beta$

Multiplicando todos os membros por (3/2):

$\dfrac{3}{2}\cdot2\alpha=\dfrac{3}{2}\cdot11-\dfrac{3}{2}\cdot7\beta\\\\\\3\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot\left(33-21\beta\right)$

Como 3α = 14 - 8β (da segunda equação:

$14-8\beta=\dfrac{1}{2}\cdot\left(33-21\beta\right)$

Multiplicando tudo por 2:

$2(14-8\beta)=33-21\beta\\28-16\beta=33-21\beta\\-16\beta+21\beta=33-28\\5\beta=5\\\beta=1$

Achando α:

$3\alpha=14-8\beta\\3\alpha=14-8\cdot1\\3\alpha=14-8\\3\alpha=6\\\alpha=2$

Então, o vetor u pode ser escrito da forma:

$\vec{u}=\alpha v_{1}+\beta v_{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\vec{u}=2v_{1}+v_{2}}}$

Letra B

2)

Do mesmo modo:

$\vec{u}=\alpha\vec{v_{1}}+\beta\vec{v_{2}}\\(1,26)=\alpha(-1,4)+\beta(2,7)\\(1,26)=(-\alpha,4\alpha)+(2\beta,7\beta)\\(1,26)=(-\alpha+2\beta,4\alpha+7\beta)\\\\\\\begin{cases}-\alpha+2\beta=1\\4\alpha+7\beta=26\end{cases}$

Multiplicando todos os membros da primeira equação por 4:

$\begin{cases}-4\alpha+8\beta=4\\4\alpha+7\beta=26\end{cases}$

Somando as equações:

$8\beta+7\beta=4+26\\15\beta=30\\\beta=2$

Achando α:

$-\alpha+2\beta=1\\-\alpha+2\cdot2=1\\-\alpha+4=1\\-\alpha=1-4\\-\alpha=-3\\\alpha=3$

Então:

$\boxed{\boxed{\vec{u}=3\vec{v_{1}}+2\vec{v_{2}}}}$

Letra C

Answer 2

Resposta:

Letra C

Explicação passo a passo: