Matemática, perguntado por simplesales, 4 meses atrás

1) O valor de k para que o número complexo Z = 3 +(2k - 44)i, seja um número real é : *

a) k = - 22
b) k = 22
c) k = 88
d) k = 3

2) Resolvendo em C a seguinte equação: x² - 6x +10 = 0, obtemos como solução as raízes: *

a) 3 + i ou 3 - i
b) 2 + i ou 2 - i
c) 4 + i ou 4 - i
d) 2i ou - 2i

3) O produto ( 5 + 7 i ) . ( 3 - 2 i ) vale: *

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i

4) Efetuando a operação (2+ 2i) + ( - 3 – 4i) + ( - 1 + i) obtemos como resultado: *

a) - 2 - i
b) - 2 + i
c) 4 + i
d) - 2 + 6i

5) Quais são os valores de x e y reais de modo que : ( x² – 64) + (y² – 20)i = 5i ? *

a) x = 32 e y = 15
b) x = 32 ou - 32 e y = 5 ou - 5
c) x = 8 ou - 8 e y = 15 ou - 15
d) x = 8 ou - 8 e y = 5 ou - 5
6) Sendo Z1 = - 6 + i e Z2 = 5 – 4i, determine: 2.Z1 + Z2 – 2.Z2 : *

a) - 15 + i
b) - 17 + 6i
c) 27 + 6i
d) - 17 + 14i
7) O conjugado do número complexo z = - 5 - 8i é: *

a) z = 5 - 8i
b) z = 5 + 8i
c) z = - 5 + 8i
d) z = - 8i

Soluções para a tarefa

Respondido por lordCzarnian9635

Resolvendo as questões sobre números complexos, encontra-se o gabarito:

Q.1) b)
Q.2) a)
Q.3) c)
Q.4) a)
Q.5) d)
Q.6) b)
Q.7) c)

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Q.1) Um número complexo na forma z = a + bi tem a parte real (a) e a parte imaginária (b). Para z = 3 + (2k – 44)i ser um número real, devemos anular sua parte imaginária, então devemos encontrar o valor de k que satisfaz essa condição:

$\tt2k-44=0~\Leftrightarrow~2k=44~\Leftrightarrow~k=22$

$\therefore$ alternativa b) 22.

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Q.2) Se U = ℂ, as raízes de x² – 6x + 10 = 0 ∈ ℂ (pertencem ao conjunto dos números complexos). Então resolvendo por Bhaskara encontra-se:

$\tt x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\tt x=\dfrac{-\,(-\,6)\pm\sqrt{(-\,6)^2-4(1)(10)}}{2(1)}$

$\tt x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}$

$\tt x=\dfrac{6\pm\sqrt{-\,4}}{2}$

$\tt x=\dfrac{6\pm\sqrt{4}\cdot\sqrt{-\,1}}{2}$

Lembrando que a unidade imaginária $\tt i=\sqrt{-\,1}$ :

$\tt x=\dfrac{6\pm2i}{2}~\Leftrightarrow~\begin{cases}\tt x_1=\dfrac{6+2i}{2}~\Leftrightarrow~x_1=3+i\\\\\vee\\\\\tt x_2=\dfrac{6-2i}{2}~\Leftrightarrow~x_2=3-i\end{cases}$

Assim, x₁ e x₂ são as raízes complexas que buscávamos.

$\therefore$ alternativa a) 3 + i ou 3 - i.

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Q.3) Faça a distributiva pra calcular esse produto, lembrando que se $\tt i=\sqrt{-\,1}$ , então $\tt i^2=-\,1$ :

$\tt(5+7i)(3-2i)$

$\tt=~~15-10i+21i-14i^2$

$\tt=~~15+11i+14$

$\tt=~~29+11i$

$\therefore$ alternativa c) 29 + 11i.

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Q.4) Para efetuar as operações, some parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:

$\tt(2+2i)+(-\,3-4i)+(-\,1+i)$

$\tt=~~2+2i-3-4i-1+i$

$\tt=~~-\,2-i$

$\therefore$ alternativa a) – 2 – i.

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Q.5) Para que (x² – 64) + (y² – 20)i seja igual a 5i, devemos ter:

$\tt(x^2-64)+(y^2-20)i=0+5i~\implies~x^2-64=0~\land~y^2-20=5$

Ou seja, a parte real deve ser nula e a parte imaginária deve ser igual a 5:

$\tt x^2-64=0~\Leftrightarrow~x^2=64~\Leftrightarrow~|x|=\sqrt{64}~\Leftrightarrow~x=\pm~8$

$\tt y^2-20=5~\Leftrightarrow~y^2=25~\Leftrightarrow~|y|=\sqrt{25}~\Leftrightarrow~y=\pm~5$

$\therefore$ alternativa d) x = 8 ou – 8 e y = 5 ou – 5.

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Q.6) Se z₁ = – 6 + i e z₂ = 5 – 4i, então o resultado da expressão é 2z₁ + z₂ – 2z₂ é:

$\tt=~~2(-\,6+i)+(5-4i)- 2(5-4i)$

$\tt=~~-12+2i+5-4i-10+8i$

$\tt=~~-17+6i$

$\therefore$ alternativa b) – 17 + 6i.

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Q.7) O conjugado de um número complexo tem somente sua parte imaginária simétrica à parte imaginaria desse número complexo, então se z = a+ bi, o conjugado de z (z̅) é z̅ = a – bi. Por isso:

$\tt z=-\,5-8i\implies\overline{z}=-\,5+8i$