Question

1. O valor da expressão cos 320 . Cos 10 - sen 140 . Sen 190 é?

2. Obter sen (a+b+c)

3. Obter tg (a+b+c)

4. Fatorar y= sen3x + senx

5. Resolver a equação: senx+2 sen2x + sen3x=0

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Número 1)

cos(320°)cos(10°) - sen(140°)sen(190°) *

* Sabemos que cos(320°) = cos(360° - 320°) = cos(40°). Também é sabido que sen(140°) = sen(180° - 140°) = sen(40°) e sen(190°) = sen(180° - 190°) = sen(- 10°) = - sen(190° - 180°) = - sen(10°). Assim sendo, obteremos:

cos(320°)cos(10°) - sen(140°)sen(190°) =

cos(40°)cos(10°) - sen(40°)[- sen(10°)] =

cos(40°)cos(10°) + sen(40°)sen(10°) =

cos(40° - 10°) =

cos(30°) =

raiz de(3)/2 — Resposta

Número 2)

Sabemos que:

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

e

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

Logo:

sen(a + b + c) = sen[(a + b) + c] =

sen(a + b)cos(c) + sen(c)cos(a + b) =

cos(c)[sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)] + sen(c)[cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)] =

sen(a)cos(b)cos(c) + sen(b)cos(a)cos(c) + sen(c)cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)sen(c)

Acarretando...

sen(a + b + c) = sen(a)cos(b)cos(c) + sen(b)cos(a)cos(c) + sen(c)cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)sen(c) — Resposta

Número 3)

Sabemos que:

tg(a + b) = [tg(a) + tg(b)]/[1 - tg(a)tg(b)]

Logo:

tg(a + b + c) = tg[(a + b) + c] = [tg(a + b) + tg(c)]/[1 - tg(a + b)tg(c)] =

{[tg(a) + t(b)]/[1 - tg(a)tg(b)] + tg(c)[1 - tg(a)tg(b)]/[1 - tg(a)tg(b)]}/{1 - [tg(a) + tg(b)]/[1 - tg(a)tg(b)]tg(c)} =

{[tg(a) + tg(b) + tg(c) - tg(a)tg(b)tg(c)]/[1 - tg(a)tg(b)]}/{1 - tg(c)[tg(a) + tg(b)]/[1 - tg(a)tg(b)]} =

{[tg(a) + tg(b) + tg(c) - tg(a)tg(b)tg(c)]/[1 - tg(a)tg(b)]}/{[1 - tg(a)tg(b)] - tg(c)[tg(a) + tg(b)]}/[1 - tg(a)tg(b)] =

[tg(a) + tg(b) + tg(c) - tg(a)tg(b)tg(c)]/[1 - tg(a)tg(b) - tg(a)tg(c) - tg(b)tg(c)] =

[tg(a) + tg(b) + tg(c) - tg(a)tg(b)tg(c)]/{1 - [tg(a)tg(b) + tg(a)tg(c) + tg(b)tg(c)]}

Acarretando...

tg(a + b + c) = [tg(a) + tg(b) + tg(c) - tg(a)tg(b)tg(c)]/{1 - [tg(a)tg(b) + tg(a)tg(c) + tg(b)tg(c)]} — Resposta

Número 4)

y = sen(3x) + sen(x) *

* É sabido (Fórmulas de Prostaférese ou de Werner) que sen(x) + sen(y) = 2sen[(x + y)/2]cos[(x - y)/2]. Logo:

* y = sen(3x) + sen(x) =>

y = 2sen[(3x + x)/2]cos[(3x - x)/2] =>

y = 2sen(2x)cos(x) — Resposta

Número 5)

sen(x) + 2sen(2x) + sen(3x) = 0 =>

[sen(3x) + sen(x)] + 2sen(2x) = 0 =>

[2sen(2x)cos(x)] + 2sen(2x) = 0 =>

2sen(2x)cos(x) + 2sen(2x) = 0 =>

2sen(2x)[cos(x) + 1] = 0 =>

2sen(2x) = 0 (i)

ou

cos(x) + 1 = 0 (ii)

De (i) temos:

2sen(2x) = 0 =>

sen(2x) = 0 =>

sen(2x) = sen(0) =>

2x = 0 + 2kpi, k inteiro

ou

2x = (pi - 0) + 2kpi, k inteiro

Acarretando...

2x = 2kpi =>

x = kpi, k inteiro

ou

x = pi/2 + kpi, k inteiro

Reunindo...

x = kpi, k inteiro ou x = pi/2 + kpi, k inteiro =>

x = kpi/2, k inteiro (iii)

De (ii) temos:

cos(x) + 1 = 0 =>

cos(x) = - 1 =>

cos(x) = cos(pi) =>

x = pi + 2kpi, k inteiro

ou

x = - pi + 2kpi, k inteiro

Reunindo...

x = pi + 2kpi, k inteiro (ou x = - pi + 2kpi, k inteiro) (iv)

Para obtermos a solução trigonométrica geral (solução final) da equação, reuniremos as soluções (iii) e (iv). Logo:

x = kpi/2, k inteiro

ou

x = pi + 2kpi, k inteiro

Logo, a solução será dada por:

S = {x é real: x = kpi/2, k inteiro} — Resposta

Abraços!