Question

1 ) O crescimento ( aproximado ) de uma colônia de bactérias foi expresso pela função P(t) = 30000.3elevado a 0 , 2 t , em que t é o tempo decorrido em dias .
a ) Determine o número de bactérias : ( da quantidade inicial ) ( da quantidade , quando t = 5 dias e t = 10 dias ) .
b) Em relação ao item anterior , o número de bactérias dobrou ?
2 ) O preço P(t) de um imóvel , após t anos de suas construção , é dado por uma função do tipo P(t ) = 100.000.(elevado a 5 raiz de 0,8)elevado a t , em milhares de reais . Qual será o preço do imóvel , em milhares de reais :
a ) Daqui a 5 anos ? b ) Daqui a 10 anos ?
3 ) Um uso importante da função exponencial está na Matemática Financeira . Ela auxilia no cálculo de um valor aplicado quando os juros é obtido sobre o montante do período anterior . A relação que determina o valor após a aplicação é : VF = VP . ( 1 + i ) elevado a t em que VF é o valor futuro , VP é o valor presente , i é a taxa e t é o tempo da aplicação .
Para um capital ( VP ) de R$ 10.000 , 00 , aplicado a uma taxa de juros de 5 % ao mês , obtenha o valor do capital após :
a ) 4 meses b ) 12 meses c ) 24 meses
4 ) Seja f ( x ) uma função dada pela expressão f(x) = 2x - 1 :
a ) Determine a função inversa f elevado a - 1 ( x )
b ) Determine f ( 2 ) e f elevado a -1 ( 3 )
c ) Compare os resultados do item b . O que se pode afirmar sobre eles ?

Answer 1

1) No dia 0 a quantidade de bactérias é 0 (Quantidade inicial)
a) t = 5 ⇒ 30.000.3¹, p(t) = 90.000 bactérias
t = 10 ⇒ 30.000.3² = 180.000 bactérias 
b) Sim visto que o p(10)/p(5) = 2, logo p(10) = 2p(5).
2) Considerando t = quantidade de anos:
t = 5
p(5) = 100.000 * 5 * raizde(0,8⁵) 
p(5) = 100.000 * 5 *raizde(0,32768)
p(5) = 100.000 * 5 * 0,57243340223994616228074845919521
p(5) =  100.000 * 2,862167011199730811403742295976
preço após 5 anos = R$: 286.216,70
t = 10
p(10) = 100.000 * 5 * raizde(0,8¹⁰) 
p(10) = 100.000 * 5 *raizde(0,1073741824)
p(10) = 100.000 * 5 * 0,32768d
p(10) = 100.000 * 1,6384
p(10) = R$: 163.840,00

Answer 2

1) P(t) = 30000*3^(0,2t)

a) População inicial ,t = 0

P(0) = 30000*3^(0,2*0)
P(0) = 30000

Quando t = 5 e t = 10

P(5) = 30000*3^(0,2*5)
P(5) = 30000*3^1
P(5) = 90000

P(10) = 30000*3^(0,2*10)
P(10) = 30000*3^(2)
P(10) = 270000

b) A população noa dobrou, ela foi triplicando:

30000 => 90000 => 270000
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2) P(t) = 100000*(5^√0,8^t)

Em 5 anos:

P(5) = 100000*(5^√0,8^5)
P(5) = 100000*0,8
P(5) = R$ 80.000,00

Em 10 anos:

P(10) = 100000*(5^√0,8^10) 
P(10) = 100000*√0,8^2
P(10) = 100000*(0,64)
P(10) = R$ 64.000,00
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3) VF = VP * (1+i)^t

Em 4 meses:

VF = 10000*(1 + 0,05)^4
VF = 10000*(1,21550625)
VF = R$ 12.155,0625

Em 12 meses:

VF = 10000*(1 + 0,05)^12
VF = 10000*(1,79585633)
VF = R$ 17.958,5633

Em 24 meses:

VF = 10000*(1 + 0,05)^24
VF = 10000*(3,22509994)
VF = R$ 32.250,9994
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4) f(x) = 2x - 1

a) y = 2x - 1
x = 2y - 1
x + 1 = 2y
y = (1 + x)/2
f(x)⁻¹ = (1 + x)/2

b) f(2) = 2*2-1
f(2) = 3

f(3)⁻¹ = (1 + x)/2
f(3)⁻¹ = (1 + 3)/2
f(3)⁻¹ = 4/2 = 2