Question

1.Numa P.G., a soma do 2º e do 3º termo vale 10 e a soma do 5º e do 6º termo é 640. Determine a razão e o primeiro termo.Requer resposta.

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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Utilizando a fórmula do termo geral:

$\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

• 2° termo $\sf ~\Rightarrow~a_2=a_1\cdot q$

• 3° termo $\sf ~\Rightarrow~a_3=a_1\cdot q^2$

• 5° termo $\sf ~\Rightarrow~a_5=a_1\cdot q^4$

• 6° termo $\sf ~\Rightarrow~a_6=a_1\cdot q^5$

1) a soma do 2º e do 3º termo vale 10

$\sf a_2+a_3=10$

$\sf a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=10$

$\sf a_1\cdot q\cdot(1+q)=10~~~(i)$

2) a soma do 5º e do 6º termo vale 640

$\sf a_5+a_6=640$

$\sf a_1\cdot q^4+a_1\cdot q^5=640$

$\sf a_1\cdot q^4\cdot(1+q)=640~~~(ii)$

Dividindo (ii) por (i):

$\sf \dfrac{a_1\cdot q^4\cdot(1+q)}{a_1\cdot q\cdot(1+q)}=\dfrac{640}{10}$

$\sf \dfrac{q^4}{q}=64$

$\sf q^3=64$

$\sf q=\sqrt[3]{64}$

$\sf \red{q=4}$

Substituindo em (i):

$\sf a_1\cdot q\cdot(1+q)=10$

$\sf a_1\cdot4\cdot(1+4)=10$

$\sf a_1\cdot4\cdot5=10$

$\sf a_1\cdot20=10$

$\sf a_1=\dfrac{10}{20}$

$\sf \red{a_1=\dfrac{1}{2}}$

A razão vale 4 e primeiro termo vale $\sf \dfrac{1}{2}$