Question

1) Numa empresa o preço de venda do seu produto é dado pela função P = 40 - x para x < 40. E a receita R= P. x, onde P é o preço e x a quantidade. Determine: a) A função receita b) O nível de produção que maximiza a receita ( quantidade) c) A receita máxima da empresa d) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva ( estudo do sinal) e) A função preço de venda do produto f) O preço máximo de venda do produto

Answer 1

a)

R(x) = P.x

R(x) = (40 - x).x

R(x) = -x² + 40x

As letras "b" e "c" são dadas pelo vertice da função quadratica.

$Vertice=\left(V_x\;,\;V_y\right)=\left(-\frac{b}{2a}\;,\;-\frac{\Delta}{4a}\right)$

b)

A quantidade de produto que maximixa os ganhos é dado pela coordenada "x" do vertice, logo:

$V_x=-\frac{40}{2(-1)}=-\frac{40}{-2}=20$

c)

A receita maxima é dada coordenada y do vertice.

Δ = 40² - 4.(-1).0 = 40² = 1600

Logo:

$V_y=-\frac{1600}{4.(-1)}=400$

d)

A função tem coeficiente "a" negativo, logo a concavidade está voltada para baixo. Com a concavidade para baixo, o intervalo positivo está entre as duas raizes da função, logo vamos determinar as raizes:

-x² + 40x = 0

x (-x + 40) = 0   --> equação do 2° grau incompleta

x1 = 0

-x + 40 = 0 --> -x = -40  --> x = 40

x2 = 40

Portanto o intervalo positivo é 0 ≤ x ≤ 40

e)

A função é dada no enunciado.

P(x) = 40 - x

f)

O preço maximo acontece com o menor "x" possivel. Como não podemos vender zero produtos ou quantidades negativas, o menor "x" possivel é 1.

Pmax = 40 - 1

Pmax = 39