Question

1- Num heliponto, um helicóptero inicia uma decolagem vertical. Considere um ponto localizado na
extremidade de uma das pás da hélice maior. A trajetória apresentada por esse ponto em relação ao pilote
do helicóptero é: ​

Answer 1

A posição apresentada por esse ponto em relação ao referencial do piloto é:

      $\Large\displaystyle\text{ \boxed{\begin{aligned}S(\theta) &=\sqrt{R^2 - R\left(2\cos\theta r_x - 2\sin\theta r_y\right) + r_x^2 + r_y^2}\end{aligned}} }$

A trajétoria apresentada por esse ponto em relação ao referencial do piloto  é dado por:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}x(\theta) = R\cos \theta - r_x\\ \\ y(\theta) = R\sin \theta - r_y\end{cases} \Longrightarrow (x+r_x)^2 + (y+r_y)^2 = R^2\end{aligned}$

Lembrando que para o piloto, a trajetória é dada por um círculo, enquanto para um observador do chão a trajetória é helicoidal, pois estará girando e subindo.

Primeiramente, vamos assumir que a hélice tem um raio R e faz um movimento circular perfeito, a hélice de um helicóptero geralmente passa da cabine do piloto, portanto, vamos dizer que o piloto está em alguma região dentro do círculo de raio R, sendo o centro de rotação um ponto em (x₀, y₀)

Vamos considerar a seguinte equação de círculo para a hélice:

                            $\Large\displaystyle\begin{aligned}(x_R-x_0)^2 + (y_R-y_0)^2 = R^2\\ \\\end{aligned}$

Então podemos considerar que o piloto está em alguma parte dentro do círculo formado pela rotação da hélice, então podemos dizer que sua posição é:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}S_p =(r_x +x_0,\, r_y +y_0 )\end{aligned}$

Para r_x e r_y contidos dentro do círculo.

Então vamos calcular a distância entre os pontos, sabemos que a distância entre dois pontos é dado por:

                            $\Large\displaystyle\begin{aligned}d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1 + y_2)^2}\end{aligned}$

Então vamos parametrizar a equação do círculo, chegamos então que a parametrização da equação do círculo é dado pela curva:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}\gamma (\theta) = (R\cos\theta + x_0, \, R\sin \theta + y_0 ) \end{aligned}$

Sendo theta o ângulo formado entre a hélice e o eixo x.

Portanto temos que a posição da hélice no eixo x é dado por:

                                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}S_{h,x} = R\cos\theta + x_0\end{aligned}$

E em y:

                                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}S_{h,y} = R\sin\theta + y_0\end{aligned}$

Fazendo a distância entre o piloto e o ponto no extremo da hélice no eixo x temos que:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}d^2_x &= (S_{h,x} - S_{p, x})^2 + (S_{h,y} - S_{p, y})^2\\ \\d^2_x &= (S_{h,x} - S_{p, x})^2 + \underbrace{(S_{h,y} - S_{p, y})^2}_{ = \,0}\\ \\d^2_x &= (S_{h,x} - S_{p, x})^2 \\ \\d_x &= S_{h,x} - S_{p, x} \\ \\d_x &= (R\cos\theta + x_0) - (r_x+x_0) \\ \\d_x &= R\cos\theta + x_0 - r_x - x_0 \\ \\d_x &= R\cos\theta - r_x \\ \\\end{aligned} }$

Agora fazendo a distância entre o piloto e o ponto no eixo y:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}d^2_y &= (S_{h,x} - S_{p, x})^2 + (S_{h,y} - S_{p, y})^2\\ \\d^2_y &= \underbrace{(S_{h,x} - S_{p, x})^2}_{ = \,0} + (S_{h,y} - S_{p, y})^2\\ \\d^2_y &= (S_{h,y} - S_{p, y})^2 \\ \\d_y &= S_{h,y} - S_{p, y} \\ \\d_y &= (R\sin\theta + y_0) - (r_ y + y_0) \\ \\d_y &= R\sin\theta - r_y \\ \\\end{aligned} }$

Então temos que a distância entre o piloto e a hélice é dado por:

                    $\Large\displaystyle\begin{aligned}d_{h, p} = (R\cos \theta - r_x,\, R\sin\theta-r_y)\end{aligned}$

Note que a trajétoria do ponto da hélice vista pelo piloto é igual a distância entre esses pontos, então podemos afirmar que as distâncias entre o piloto e o ponto dado por:

                        $\Large\displaystyle\text{ \boxed{\begin{aligned}T = (R\cos \theta - r_x,\, R\sin\theta-r_y)\end{aligned}} }$

Podemos ainda escrever a posição vista pelo piloto em função do ângulo theta:

$\large\displaystyle\begin{aligned}S(\theta) &= \sqrt{d_x^2+d_y^2}\\ \\S(\theta) &= \sqrt{(R\cos\theta - r_x)^2+(R\sin\theta - r_y)^2}\\ \\S(\theta) &=\left[\left(R^2\cos^2\theta - 2R\cos\theta r_x + r_x^2\right)+\left(R^2\sin^2\theta - 2R\sin\theta r_y + r_y^2\right)\right]^\frac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}S(\theta) &=\left[R^2 \underbrace{(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}_{ =\, 1} - R\left(2\cos\theta r_x - 2\sin\theta r_y\right) + r_x^2 + r_y^2\right]^\frac{1}{2}\\ \\S(\theta) &=\sqrt{R^2 - R\left(2\cos\theta r_x - 2\sin\theta r_y\right) + r_x^2 + r_y^2}\\ \\\end{aligned}$

Portanto, a posição do ponto no extremo da hélice vista pelo piloto a uma distância (r_x, r_y) do ponto em função de sua rotação é dada por:

   $\Large\displaystyle\text{ \boxed{\begin{aligned}S(\theta) &=\sqrt{R^2 - R\left(2\cos\theta r_x - 2\sin\theta r_y\right) + r_x^2 + r_y^2}\end{aligned}} }$    

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

Parametrização - brainly.com.br/tarefa/6402781

Distância entre dois pontos - brainly.com.br/tarefa/25369062