Question

1. Num grupo de 15 pessoas, 5 são do sexo masculino. De quantas maneiras podemos formar comissões de 8 pessoas de modo que: a) Nenhuma pessoa seja do sexo masculino? b) Nenhuma pessoa seja do sexo feminino? c) Todas as pessoas do sexo masculino participem da comissão? d) Metade das pessoas da comissão sejam do sexo feminino?

Answer 1

Resposta:

a) 45

b) 0

c) 120

d) 1050

Explicação:

Como se deseja formar comissões em que a ordem de participação dos membros não é importante, o número formado é dado por combinação:

$C_{n,p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Onde n é o total de elementos e p o número desejado de membros.

a) Em um total de 10 do sexo feminino para 8 vagas:

$C_{10,8} = \dfrac{10!}{8!(10-8)!} = \dfrac{10!}{8!2!} = \dfrac{10*9}{2} = 45$

b) Não é possível que haja comissões sem pessoas do sexo feminino pois faltariam ainda três vagas a serem preenchidas.

c) Se todas as pessoas do sexo masculino participarem, restarão 3 vagas para um total de 10 pessoas:

$C_{10,3} = \dfrac{10!}{3!(10-3)!} = \dfrac{10!}{3!7!} = \dfrac{10*9*8}{3*2} = 120$

d) Metade das pessoas do sexo feminino significa que existem 4 vagas para um total de 10 e 4 vagas para um total de 5 para as pessoas do sexo masculino:

$C_{10,4} * C_{5,4}= \dfrac{10!}{4!(10-4)!} * \dfrac{5!}{4!(5-4)!}= \dfrac{10!}{4!6!} * \dfrac{5!}{4!1!} = \dfrac{10*9*8*7}{4*3*2} * \dfrac{5}{1} = 1050$