Question

1) Nas proximidades da superfície terrestre, a pressão atmosférica P, em atmosfera (atm), é dada em função da altitude h, em quilômetro, aproximadamente por P(h) = (0,9)h. Se, no topo de uma montanha, a pressão é 0,729 atm, conclui-se quea altitudedesse topo é de quantos metros?

Answer 1

Olá Gustavo

P(h) = 0.9^h 

0.729 = 0.9^h 

h = log(0.729)/log(0.9) 

h = log(0.9^3)/log(0.9) = 3*log(0.9)/log(0.9) = 3 km = 3000 metros

Answer 2

O topo desta montanha está a uma altitude de 3 quilômetros.

A fórmula da pressão em função da altura é:

$P(h) = 0,9^h$

, onde P é a pressão (em atm) e h a altura (em km).

Se a pressão, no topo da montanha, vale 0,729 atm (o que faz total sentido, visto que quanto maior a altitude em relação ao mar menor a pressão no local, basta ver os jogos de futebol em locais onde a altitude é bem elevada). Nesse caso, temos:

P(h) = 0,729 atm

Substituindo na fórmula dada no enunciado:

$P(h) = 0,729\\\\0,9^h = 0,729$

Aplicando logaritmo (log na base 10) em ambos os lados:

$0,9^h = 0,729\\\\log(0,9)^h = log0,729\\\\hlog0,9 = log0,729\\\\h = log0,729/log0,9 = log(729*10^{-3})/log(9*10^{-1}) = (log729 + log10^{-3})/(log9  + log10^{-1}) = (log729 - 3)/(log9 - 1)\\h = (log9^3 - 3)/(log9 - 1) = (3log9 - 3)/(log9 - 1) = 3*(log9 - 1)/(log9 - 1) = 3 km$

Logo o topo dessa montanha está a 3 quilômetros acima do nível do mar.

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