Question

1 - Na física podemos utilizar as integrais de funções de uma variável real para o cálculo da velocidade de um corpo dada a sua aceleração em um intervalo de tempo. Com base nessas informações encontre a velocidade aproximada de um carro cuja aceleração é dada por:

a(t)= t ln t,

no intervalo 1 ≤ t ≤ 10.

Answer 1

Olá,

Sabemos que:

$a(t) = \dfrac{dv(t)}{dt}$

Então:

$\displaystyle v = \int_{t_i}^{t_f}a(t)\,dt$

Na expressão acima, v é a velocidade, a é a aceleração e t é o tempo. O índice i indica a situação inicial, e f, a final. Pelo enunciado: $a(t) = t\cdot\ln(t)$, com $t_i=1$ e $t_f=0$ . Assim:

$\displaystyle v = \int_{t_i}^{t_f}a(t)\,dt\\\\ v = \int_{1}^{10}t\cdot \ln(t)\,dt$

Vamos fazer uma substituição: $u = \ln(t)\Longrightarrow du = \dfrac{1}{t}\cdot dt\Longrightarrow dt = t\cdot du$. Então:

$\displaystyle v = \int_{1}^{10}t\cdot \ln(t)\,dt\\\ v = \int_{u_i}^{u_f}\dfrac{1}{t}\cdot t\cdot du\\\\ v = \int_{u_i}^{u_f}\, du\\\\ v = [u]_{u_i}^{u_f}$

Voltando à variável t:

$v = [\ln(t)]_{t_i}^{t_f}\\\\ v = \ln(t_f)-\ln(t_i)\\\\ v = \ln(10)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}\\\\ v = \ln(10)\\\\ \boxed{v\approx2,3~u.v.}$