Question

1-Mostre que a aplicação de R em R definida por f(x) = x+3 é bijetora. Determine sua inversa!

 

2-Dada a aplicação f(x) = |x|. Determine f(1-$<var>\sqrt2</var>$), f-¹([0,3]), f((-1,2]). Esboce cada Situação!


Galerinha precisando disso pra quinta anoite alguém pode me ajudar?

 

Answer 1

Olá, César,

 

(1) Para mostrar que f(x) é bijetora, devemos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.

 

Prova de que f(x) é injetora (por absurdo):
$Suponhamos\ que\ existam\ x_1\neq x_2\ tais\ que\ f(x_1)=f(x_2).$
$Como\ f(x_1)=f(x_2)\ temos\ que\ f(x_1)-f(x_2)=0.$
$Mas\ f(x_1)-f(x_2)=x_1 + 3 - x_2 - 3 = x_1 - x_2\neq 0,$
$pois,\ por\ hip\'otese,\ \ x_1\neq x_2\ (\mathbf{absurdo})$
$\therefore f\ \'e\ injetora$

Definição: f(x) é sobrejetora se: $\forall y \in CD, \exists x \in D \mid f(x)=x+3=y.$

$\mathbf{Prova:}\\Seja\ y \in CD.\\Tomando-se\ x\ \mid x = y - 3,\ temos\ que$

$f(x)=f(y-3)=y-3+3=y \Rightarrow\\ \forall y \in CD\ \'e$
$poss\'ivel\ encontrar\ x\in D \mid f(x)=y$
$\therefore \ f(x)\ \'e\ sobrejetora$
$\therefore \ f(x)\ \'e\ \mathbf{bijetora}\ e\ f^{-1}(x)=x-3$

 

 

(2)

$\begin{cases}& f(x) = x,\ se\ x\geq 0 \\ & f(x) = -x,\ se\ x<0 \end{cases}$

$(a)\ f(1-\sqrt{2})=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1,\ pois\ \sqrt{2} > 1\\\\ (b)\ f^{-1}([0,3])=x,\ pois\ x>0,\ \forall x \in [0,3] \\\\ (c)\ f^{-1}((-1,2])\ n\~ao\ existe,\ pois\ f((-1,2])\ n\~ao\ \'e\ injetora,\\ uma\ vez\ que,\ para\ x_1=-\frac12\ e\ x_2=\frac12,\ temos\ f(x_1)=f(x_2)=\frac12.\\ Como\ f\ n\~ao\ \'e\ injetora \Rightarrow\ f\ n\~ao\ \'e\ bijetora \Rightarrow f\ n\~ao\ \'e\ invers\'ivel$