1)Justifique porque os vetores u= (1,a,2), v= (a,0,3) e w= (0,2,3) sempre
formam uma base para o R3
2) Escreva w= (4,5,3) como combinação linear de u= (2,1,3) e v = (0,1,–1).
3) Qual deve ser o valor de a para que o vetor w = (1,a,5) seja combinação
linear de u = (1,–3,2) e v= (2,–1,1)?
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1)
Para que três vetores sejam base de R³, devem ser linearmente independentes, ou seja, seu produto misto deve ser diferente de zero. Vamos calcular o produto misto dos vetores:
![[u, v, w]= \left[\begin{array}{ccc}1&a&2\\a&0&3\\0&2&3\end{array}\right] =1*(0-6)+a*(0-3a)+2*(2a-0)=\\\\=-6-3a^2+4a=-3a^2+4a-6](https://tex.z-dn.net/?f=%5Bu%2C+v%2C+w%5D%3D++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3Ba%26amp%3B2%5C%5Ca%26amp%3B0%26amp%3B3%5C%5C0%26amp%3B2%26amp%3B3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D1%2A%280-6%29%2Ba%2A%280-3a%29%2B2%2A%282a-0%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D-6-3a%5E2%2B4a%3D-3a%5E2%2B4a-6 "[u, v, w]= \left[\begin{array}{ccc}1&a&2\\a&0&3\\0&2&3\end{array}\right] =1*(0-6)+a*(0-3a)+2*(2a-0)=\\\\=-6-3a^2+4a=-3a^2+4a-6")
Note que o produto misto no leva a uma equação de 2° grau que depende de a. Vamos verificar se é possível que a equação seja igual a zero.
-3a² + 4a - 6 = 0
Δ = 4² - 4 * (-3) * (-6) = 16 - 72 = -56
Como o Δ da equação é negativo, essa equação não possui raízes, portanto qualquer que seja o valor de "a" o produto misto será diferente de zero. Portanto, os três vetores dados são linearmente independentes e, assim, formam sempres uma base para R³.
2)
Vamos considerar dois coeficientes "a" e "b" de forma que possamos escrever a seguinte combinação linear
au + bv = w
Assim, teremos:
au + bv = w
a*(2, 1, 3) = b*(0, 1, -1) = (4, 5, 3)
Assim, podemos definir um sistema com três equações e duas icógnitas.
2a + 0b = 4
1a + 1b = 5
3a - 1b = 3
Pela primeira equação, definimos o valor de "a"
2a + 0b = 4
2a = 4
a = 2
Substituindo o valor de "a" na segunda equação, definimos o valor de "b".
1a + 1b = 5
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Agora, verificamos a exatidão da terceira equação:
3a - 1b = 3
3*2 - 3 = 3
6 - 3 = 3
3 = 3
Portanto, temos que:
a = 2
b = 3
Portanto, a combinação linear de u e v que resulta em w é:
au + bv = w
2u + 3v = w
3)
Para que w seja combinação linear de u e v, os três vetores devem ser liearmente dependentes, ou seja, o produto misto entre os três vetores deve ser igual a zero. Vamos determinaro p roduto misto e igualar a zero.
![[u, v, w]=0\\\\ \left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\2&-1&1\\1&a&5\end{array}\right] =0\\\\1*(-5-a)-3*(1-10)+2*(2a+1)=0\\\\-5-a+27+4a+2=0\\\\3a-24=0\\\\3a=24\\\\a=8](https://tex.z-dn.net/?f=%5Bu%2C+v%2C+w%5D%3D0%5C%5C%5C%5C++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3B-3%26amp%3B2%5C%5C2%26amp%3B-1%26amp%3B1%5C%5C1%26amp%3Ba%26amp%3B5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D0%5C%5C%5C%5C1%2A%28-5-a%29-3%2A%281-10%29%2B2%2A%282a%2B1%29%3D0%5C%5C%5C%5C-5-a%2B27%2B4a%2B2%3D0%5C%5C%5C%5C3a-24%3D0%5C%5C%5C%5C3a%3D24%5C%5C%5C%5Ca%3D8 "[u, v, w]=0\\\\ \left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\2&-1&1\\1&a&5\end{array}\right] =0\\\\1*(-5-a)-3*(1-10)+2*(2a+1)=0\\\\-5-a+27+4a+2=0\\\\3a-24=0\\\\3a=24\\\\a=8")
Portanto, para que w, seja combinação linear de u e v, o valor de a deve ser 8.
Para que três vetores sejam base de R³, devem ser linearmente independentes, ou seja, seu produto misto deve ser diferente de zero. Vamos calcular o produto misto dos vetores:
Note que o produto misto no leva a uma equação de 2° grau que depende de a. Vamos verificar se é possível que a equação seja igual a zero.
-3a² + 4a - 6 = 0
Δ = 4² - 4 * (-3) * (-6) = 16 - 72 = -56
Como o Δ da equação é negativo, essa equação não possui raízes, portanto qualquer que seja o valor de "a" o produto misto será diferente de zero. Portanto, os três vetores dados são linearmente independentes e, assim, formam sempres uma base para R³.
2)
Vamos considerar dois coeficientes "a" e "b" de forma que possamos escrever a seguinte combinação linear
au + bv = w
Assim, teremos:
au + bv = w
a*(2, 1, 3) = b*(0, 1, -1) = (4, 5, 3)
Assim, podemos definir um sistema com três equações e duas icógnitas.
2a + 0b = 4
1a + 1b = 5
3a - 1b = 3
Pela primeira equação, definimos o valor de "a"
2a + 0b = 4
2a = 4
a = 2
Substituindo o valor de "a" na segunda equação, definimos o valor de "b".
1a + 1b = 5
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Agora, verificamos a exatidão da terceira equação:
3a - 1b = 3
3*2 - 3 = 3
6 - 3 = 3
3 = 3
Portanto, temos que:
a = 2
b = 3
Portanto, a combinação linear de u e v que resulta em w é:
au + bv = w
2u + 3v = w
3)
Para que w seja combinação linear de u e v, os três vetores devem ser liearmente dependentes, ou seja, o produto misto entre os três vetores deve ser igual a zero. Vamos determinaro p roduto misto e igualar a zero.
Portanto, para que w, seja combinação linear de u e v, o valor de a deve ser 8.
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