Question

1. (Ita) Sejam aŠ e bŠ números reais com n = 1, 2, ..., 6. Os números complexos zŠ=aŠ+ibŠ são tais que |zŠ|=2 e bŠμ0, para todo n=1,2,...,6. Se (a,a‚,...,a†) é uma progressão aritmética de razão -1/5 e soma 9, então zƒ é igual a:? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Olá,

Uma informação muito importante é a PA que se formam com o números. Para calcular z₃ precisamos do a₃ e do b₃. 

Sabe-se que a soma dos 6 termos é 9. Para essa soma precisamos do a₆:
a₆ = a₁ + (6 - 1)*r
a₆ = a₁ + 5*(-1/5)
a₆ = a₁ - 1

Vamos à soma:
S₆ = [(a₁ + a₆)/2]*6
S₆ = [(a₁ + a₁ -1)/2]*6
9 = [(2a₁ - 1)/2]*6
2*9 = (2a₁ - 1)*6
18 = (2a₁ - 1)*6
18/6 = (2a₁ - 1)
3 = 2a₁ - 1
2a₁ = 3 + 1
2a₁ = 4
a₁ = 4/2
a₁ = 2

Agora, vamos encontrar o valor de a3:
a₃ = a₁ + (3-1)*(-1/5)
a₃ = 2 + 2*(-1/5)
a₃ = 2 - 2/5
a₃ = 8/5

Para encontrar z₃, precisamos ainda do b₃. Sendo o |z₃| = 2, temos:
|z₃| = √[(a₃)² + (b₃)²]
2 = √[(8/5)² + (b₃)²]
2 = √[64/25 + (b₃)²]
2² = 64/25 + (b₃)²
4 = 64/25 + b₃²
4 = (64 + 25b₃²)/25
4*25 = 64 + 25b₃²
100 - 64 = 25b₃²
36 = 25b₃²
36/25 = b₃²
b₃ = √36/25
b₃ = 6/5

Assim, temos o número complexo:
z₃ = 8/5 + i*6/5
z₃ = 8/5 + 6i/5

Bons estudos ;)