Question

1 — Formar todas as possíveis combinações de dois elementos, escolhidos dentre os elementos do conjunto {1,3,5,7,9}. Solução:As combinações de 5 elementos tomados 2 a 2 são os agrupamentos formados por 2 elementos distintos dentre os 5 elementos, em que a ordem dos elementos não é considerada. Assim, as combinações dos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 tomados 2 a 2 são os conjuntos formados por dois algarismos dentre os algarismos dados: {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {1, 9}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 9}, {5, 7}, {5, 9} e {7, 9}. 2 — Formar os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 e 7 tomados 3 a 3. Solução: Os arranjos de 4 elementos tomados 3 a 3 são os agrupamentos formados por 3 elementos distintos dentre os 4 elementos, em que a ordem é considerada. Assim, os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 e 7 tomados 3 a 3 são as sucessões ou sequências formadas por três algarismos distintos dentre os algarismos dados: (1, 3, 5) (1, 3, 7) (1, 5, 7) (3, 5, 7) (1, 5, 3) (1, 7, 3) (1, 7, 5) (3, 7, 5) (3, 5, 1) (3, 1, 7) (5, 7, 1) (5, 3, 7) (3, 1, 5) (3, 7, 1) (5, 1, 7) (5, 7, 3) (5, 3, 1) (7, 1, 3) (7, 1, 5) (7, 3, 5) (5, 1, 3) (7, 3, 1) (7, 5, 1) (7, 5, 3) 3 — Analisar as situações abaixo e corresponder de acordo com o tipo de problema apresentado. a. Formar filas, com 5 pessoas b. Formar pares, escolhidos dentre 10 pessoas. c. Formar números de 3 algarismos distintos, escolhidos dentre 4. d. Formar equipes de 3 pessoas, escolhidas dentre 4. Permutação Combinação Arranjo 4 — Formar as combinações das letras a, b, c, d tomadas duas a duas. 5 — Formar os arranjos das letras a, b, c, d tomadas duas a duas. 6 — Formar as combinações dos algarismos 2, 4, 6 e 8 tomados três a três. 7 — Formar os arranjos dos algarismos 2, 4, 6, e 8 tomados três a três. 8 — Zoe, Oto, Eva, Bia e Edu fizeram um trabalho em grupo, somente dois deles terão que fazer a apresentação para a turma. a) Escreva todas as possibilidades de escolha dos dois que farão a apresentação do trabalho. b) Cada uma destas possibilidades corresponde a um arranjo ou a uma combinação dos 5 alunos tomados dois a dois?

Answer 1

1 — Formar todas as possíveis combinações de dois elementos, escolhidos dentre os elementos do conjunto {1,3,5,7,9}.

Solução: As combinações de 5 elementos tomados 2 a 2 são os agrupamentos formados por 2 elementos distintos dentre os 5 elementos, em que a ordem dos elementos não é considerada. Assim, as combinações dos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 tomados 2 a 2 são os conjuntos formados por dois algarismos dentre os algarismos dados:

{1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {1, 9}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 9}, {5, 7}, {5, 9} e {7, 9}.

2 — Formar os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 e 7 tomados 3 a 3.

Solução: Os arranjos de 4 elementos tomados 3 a 3 são os agrupamentos formados por 3 elementos distintos dentre os 4 elementos, em que a ordem é considerada. Assim, os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 e 7 tomados 3 a 3 são as sucessões ou sequências formadas por três algarismos distintos dentre os algarismos dados:

(1, 3, 5) (1, 3, 7) (1, 5, 7) (3, 5, 7) (1, 5, 3) (1, 7, 3) (1, 7, 5) (3, 7, 5)

(3, 5, 1) (3, 1, 7) (5, 7, 1) (5, 3, 7) (3, 1, 5) (3, 7, 1) (5, 1, 7) (5, 7, 3)

(5, 3, 1) (7, 1, 3) (7, 1, 5) (7, 3, 5) (5, 1, 3) (7, 3, 1) (7, 5, 1) (7, 5, 3)

3 — Analisar as situações abaixo e corresponder de acordo com o tipo de problema apresentado.

a. Formar filas, com 5 pessoas. (Arranjo)

b. Formar pares, escolhidos dentre 10 pessoas. (Combinação)

c. Formar números de 3 algarismos distintos, escolhidos dentre 4. (Permutação)

d. Formar equipes de 3 pessoas, escolhidas dentre 4. (Combinação)

4 — Formar as combinações das letras a, b, c, d tomadas duas a duas.

{a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}

5 — Formar os arranjos das letras a, b, c, d tomadas duas a duas.

{a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}

{b, a} {c, a} {d, a} {c, b} {d, b} {d, c}

6 — Formar as combinações dos algarismos 2, 4, 6 e 8 tomados três a três.

{2, 4, 6} {2, 4, 8} {4, 6, 8} {2, 6, 8}

7 — Formar os arranjos dos algarismos 2, 4, 6, e 8 tomados três a três.

{2, 4, 6} {2, 6, 4} {4, 2, 6} {4, 6, 2} {6, 2, 4} {6, 4, 2}

{2, 4, 8} {2, 8, 4} {4, 2, 8} {4, 8, 2} {8, 2, 4} {8, 4, 2}

{4, 6, 8} {4, 8, 6} {6, 4, 8} {6, 8, 4} {8, 4, 6} {8, 6, 4}

{2, 6, 8} {2, 8, 6} {6, 2, 8} {6, 8, 2} {8, 2, 6} {8, 6, 2}

8 — Zoe, Oto, Eva, Bia e Edu fizeram um trabalho em grupo, somente dois deles terão que fazer a apresentação para a turma.

a) Escreva todas as possibilidades de escolha dos dois que farão a apresentação do trabalho.

(Zoe, Oto) (Zoe, Eva) (Zoe, Bia) (Zoe, Edu)

(Oto, Eva) (Oto, Bia) (Oto, Edu)

(Eva, Bia) (Eva, Edu)

(Bia, Edu)

b) Cada uma destas possibilidades corresponde a um arranjo ou a uma combinação dos 5 alunos tomados dois a dois?

COMBINAÇÃO, pois a ordem em que os alunos estão Não determina um novo grupo. Por exemplo, (Zoe, Oto) = (Oto, Zoe).

Answer 2

Em matemática, chama-se combinatória a área dedicada ao estudo de técnicas e métodos que permitem resolver problemas relacionados com contagem. Entre alguns problemas clássicos relacionados, estão os que envolvem permutações, arranjos e combinações.

A resolução será dada em partes.

(1)  Formar todas as possíveis combinações de dois elementos, escolhidos dentre os elementos do conjunto {1,3,5,7,9}.

O objetivo aqui é calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos. Problemas como este são classificados como problemas de combinação. Nesse caso, tem-se:

$C_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k!)k!}$

Lembre-se que os grupos aqui aqui formados só se diferenciam pela natureza dos seus elementos e não pela ordem. Fazendo as contas:

$C_{2}^{5}=\frac{5!}{(5-2!)2!}=\frac{5!}{(3!)2!}=\frac{20}{2} =10$

Logo, são 10 as combinações. Listando-os: {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {1, 9}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 9}, {5, 7}, {5, 9} e {7, 9}.

$\dotfill$

(2)  Formar os arranjos dos algarismos 1, 3, 5 e 7 tomados 3 a 3.

 

Aqui temos outro um tipo de problema. Em problemas de arranjo simples, os agrupamentos além de se diferenciam pela natureza dos seus elementos, também se diferenciam pela ordem. Para calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos onde a ordem importa, fazemos:

$A_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k!)}$

Substituindo:

$A_{3}^{4}=\frac{4!}{(4-3!)}=\frac{4\cdot 3 \cdot 2!}{1!} = 24$

Assim, são 24 o número de arranjos dos algarismos dentre os algarismos dados. Listando-os: {1, 3, 5} , {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 5, 3}, {1, 7, 3}, {1, 7, 5}, {3, 7, 5}, {3, 5, 1}, {3, 1, 7}, {5, 7, 1}, {5, 3, 7}, {3, 1, 5}, {3, 7, 1}, {5, 1, 7}, {5, 7, 3}, {5, 3, 1}, {7, 1, 3}, {7, 1, 5}, {7, 3, 5}, {5, 1, 3}, {7, 3, 1}, {7, 5, 1} e {7, 5, 3}.

$\dotfill$

(3)  

  (a) Formar filas, com 5 pessoas.

  Um dos problemas mais básicos de contagem está associado a determinar o número de possibilidades de colocar $n$ objetos distintos em fila.  Para tal, o número de maneiras de colocar $n$  objetos distintos em fila é dado por:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot1$

 

Problemas como este são classificados como problemas de permutação.

 (b) Formar pares, escolhidos dentre 10 pessoas.

A troca de ordem entre os membros nos pares não cria um novo agrupamento. Com isso, problemas como este são classificados como problemas de combinação.

   

 (c) Formar números de 3 algarismos distintos, escolhidos dentre 4.

A troca de ordem entre os algarismos cria um novo agrupamento. Problemas como este são classificados como problemas de arranjo simples.

(d) Formar equipes de 3 pessoas, escolhidas dentre 4.

   Aqui tem-se um problema semelhante ao item b). Observe que uma equipe não se altera trocando a ordem dos integrantes.

Com isso, este problema também pode ser classificado como problema de combinação.

$\dotfill$

(4)

Nesta tarefa, formar combinações das letras é calcular quantos são os subconjuntos de 2 elementos dentro do grupo de 4 elementos onde a ordem não importa.

São estas as combinações possíveis: ab, ac, ad, bc, bd e cd.

Observe que poderíamos calcular o número destas combinações fazendo,

$C_{2}^{4}=\frac{4!}{(4-2!)2!}=\frac{4!}{(2!)2!}=\frac{24}{4} =6$

$\dotfill$

(5)

Neste exercício, formar arranjos das letras é calcular quantos são os subconjuntos de 2 elementos dentro do grupo de 4 elementos onde, agora, a ordem importa.

É fácil agora imaginar que teremos mais subconjuntos: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd e dc.

Este número pode ser calculado como:

$A_{2}^{4}=\frac{4!}{(4-2!)}=\frac{4\cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 12$

$\dotfill$

(6) Listando todas as combinações possíveis:

246, 248, 268 e 468.

Usando a fórmula para calcular este número de possibilidades:

$C_{3}^{4}=\frac{4!}{(4-3!)3!}=\frac{4!}{(1!)3!}=4$

$\dotfill$

(7) Listando todas os arranjos possíveis:

246, 264, 462, 426, 642, 624,  

248, 284, 428, 482, 824, 842  

268, 286, 682, 628, 826, 862  

468, 486, 648, 684, 846, 864

Usando a fórmula para calcular este número de possibilidades:

$A_{3}^{4}=\frac{4!}{(4-3!)}=\frac{4!}{1!} = 24$

$\dotfill$

(8)

(a) São estas as possibilidades:

{Zoe, Oto} , {Zoe, Eva},  {Zoe, Bia}, {Zoe, Edu}, {Oto, Eva}, {Oto, Bia}, {Oto, Edu}, {Eva, Bia}, {Eva, Edu} e  {Bia, Edu} .

Calculando:

$C_{2}^{5}=\frac{5!}{(5-2!)2!}=\frac{5!}{(3!)2!}=10$

(b) Como a troca de ordem dentro da dupla de apresentação não configura um novo grupo, tem-se uma combinação dos 5 alunos tomados dois a dois.

$\dotfill$

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