Question

1) Foi medido um terreno em um levantamento expedito, onde os ângulos foram determinados pelo método
das cordas e, as distâncias e diagonais medidas com trena.
Calcular os ângulos internos.
Obs.: Todas as medidas estão em metros.
Ponto Ângulo Horizontal
1
2
3
4
5
2) Em relação ao exercício anterior, calcular o erro angular.
Erro angular é a diferença entre o valor esperado para a somatória dos ângulos do polígono e a somatória dos
valores obtidos.
3) Em relação ao exercício anterior, considerando as medidas tomadas com a trena para os lados e as diagonais,
pede-se calcular a área do terreno.

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Answer 1

Boa noite!

1)
Ângulos dos vértices podem ser obtidos pela lei dos cossenos:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\\\boxed{\cos\theta=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$

Assim, para cada vértice pode-se utilizar a regra e obter os ângulos:
1-$\cos\theta_1=\dfrac{20^2+20^2-27,52^2}{2(20)(20)}\\\theta_1\approx 86^{\circ}56'38''$

Mas, como todos os vértices são obtidos por triângulos isósceles, pode-se de maneira mais fácil obter o ângulo interno dividindo-se o lado oposto ao vértice ao meio, pela altura relativa a este, e calculando-se a metade do ângulo indicado. Assim:
2-$\sin\dfrac{\theta_2}{2}=\dfrac{\dfrac{23,13}{2}}{15}\\\theta_2\approx 100^{\circ}53'15''$

3-$\sin\dfrac{\theta_3}{2}=\dfrac{\dfrac{45,05}{2}}{25}\\\theta_3\approx 128^{\circ}34'47''$

4-$\sin\dfrac{\theta_4}{2}=\dfrac{\dfrac{11,25}{2}}{10}\\\theta_4\approx 68^{\circ}27'28''$

5-$\sin\dfrac{\theta_5}{2}=\dfrac{\dfrac{58,59}{2}}{30}\\\theta_5\approx 155^{\circ}6'30''$

2)A soma dos ângulos de um pentágono:
$S_5=(5-2)180^{\circ}\\S_5=3(180^{\circ})\\S_5=540^{\circ}$

Somando-se os ângulos obtidos anteriormente:
$S=539^{\circ}58'38''$

Erro, o errro fi:
$540-539^{\circ}58'38''=1'22''$

3)
A área do terreno. Podemos obter pela fórmula de Herão:
Área do trIângulo 130,60x68,75x158,65 depois 158,65x123,40x86,99 depois 74,43x79,96x86,99

Irei calcular a primeira, depois só seguir:
$p=\dfrac{a+b+c}{2}\\A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c}\\p=\dfrac{130,6+68,75+158,65}{2}=\dfrac{358}{2}=179\\A=\sqrt{179(179-130,6)(179-68,75)(179-158,65)}\\A=\sqrt{179(48,4)(110,25)(20,35)}\\A\approx 4\,408,8031$

As outras, agora:
$p=\dfrac{158,65+86,99+123,4}{2}=\dfrac{369,04}{2}=184,52\\A=\sqrt{184,52(184,52-158,65)(184,52-86,99)(184,52-123,4)}\\A\approx 5\,334,3404$

A última:
$p=\dfrac{79,96+86,99+74,43}{2}=\dfrac{241,38}{2}=120,69\\A=\sqrt{120,69(120,69-79,96)(120,69-86,99)(120,69-74,43)}\\A\approx 2\,768,2838$

Somando-se as áreas:
$4\,408,8031+5\,334,3404+2\,768,2838=12\,511,4273$

Espero ter ajudado!