Question

1-) estude a monotonia da seguinte sucessão

a) Un= n/n+1

b) un= n+1/n

c) un= n+1/2n+3

Answer 1

Vamos lá.
Veja, Estudosa, que a resolução envolve conhecimento sobre uma sucessão crescente, ou decrescente, ou constante. 

i) Vamos para cada uma das sucessões pedidas:

a) u ̪  = n/(n+1).


Agora veja: a sucessão será crescente se:

u ̪ ₊₁ - u ̪  > 0

e será decrescente se:


u ̪ ₊₁ - u ̪  < 0
ii) Portanto, tendo o que se viu aí em cima como parâmetro, vamos para a sucessão do item "a":

u ̪  = n/(n+1)

Veja que u ̪ ₊₁ será obtido ao somarmos "1" unidade à "n". Então teremos:

u ̪ ₊₁ = (n+1) / [(n+1)+1]

u ̪ ₊₁ = (n+1) / (n+2)

Agora vamos ver se u ̪ ₊₁ - u ̪  será maior do que zero ou não. Assim, chamando de "d" a subtração indicada acima, teremos:

d =  (n+1)/(n+2) - n/(n+1) ---- mmc = ((n+2)*(n+1). Assim, utilizando-o, temos:

d = [(n+1)*(n+1) - (n+2)*n]/(n+2).(n+1) ---- desenvolvendo, temos;
d = [n²+2n+1 - n²-2n]/(n²+3n+2) ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

d = [1] / (n²+3n+2) --- ou apenas:
d = 1/(n²+3n+2) ---> com n ≠ -1 e n ≠ -2 (que são as raízes da equação).

Agora note isto: a equação do denominador [n²+3n+2] terá a seguinte variação de sinais em função de suas raízes:

n² + 3n + 2 ..... + + + + + + + + (-1) - - - - - - - (-2) + + + + + + + + + +

Ou seja, para n ≠ -1 e n ≠ -2, a função será sempre positiva para valores extrarraízes (fora das raízes), e será negativa para valores intrarraízes (entre as raízes). E como ela está no denominador e sendo o numerador igual a "1", iremos ter SEMPRE que:

u ̪ ₊₁ - u ̪  < 0 ----  sucessão será DECRESCENTE para n ≠ -1 e n ≠ -2, pois :

u ̪ ₊₁ - u ̪  será sempre menor do que zero para quaisquer que sejam os "n" diferentes de "-1" e de "-2".

Como você viu, apenas a primeira questão tomou todo este espaço para podermos responder, pois envolve bastante cálculos. Logo, você deverá colocar as outras questões em mensagens diferentes (uma questão por mensagem), ok?

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.