Question

1. Escreva a equação paramétrica da reta tangente a curva y =(2x + 1)/(x + 2) no ponto (1, 1).

Answer 1

Seja $f(x) = ax+b$ a reta tangente. Sabemos que ela passa pelo ponto (1,1), então:

$f(1) = 1 \\~\\a+b = 1 \\~\\b = 1-a$

Os pontos de encontro entre a reta e a curva são os pontos onde $f(x) = y$, ou seja:

$ax+b = \dfrac{2x+1}{x+2}$

Substituindo:

$ax+1-a = \dfrac{2x+1}{x+2}$

Simplificando:

$(ax+1-a)(x+2) = 2x+1$

$ax^2+2ax+x+2-ax-2a = 2x+1$

$ax^2+ax-x+1-2a =0$

$ax^2+(a-1)\cdot x+1-2a =0$

Temos uma equação quadrática. Queremos que essa equação tenha apenas uma solução, a fim da reta ser tangente. Para isso, o discriminante deve ser igual a zero.

$\Delta = 0$

$(a-1)^2 -4\cdot(a)\cdot(1-2a) = 0$

$a^2-2a+1-4a+8a^2=0$

$9a^2-6a+1=0$

Resolvendo para a:

$a = \dfrac{6\pm0}{18}\\~\\~\\a' = \dfrac{3}{9} \text{ ou } a'' = \dfrac{3}{9}$

Sobre os valores de b:

$b' = \dfrac{6}{9} \text{ ou } b'' = \dfrac{6}{9}$

As equações são:

$f_1(x) = \dfrac{3x+6}{9} \text{ ou } f_2(x) = \dfrac{3x+6}{9}$

Simplificando-as:

$f(x) = \dfrac{x+2}{3}$