Question

1.Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x) = x 2 - 8x + 9 no ponto (3, -6). a) y = 2x + 6 b) y = 2x - 3 c) y = -2x d) y = -2x - 6 e) y = -2x + 3

Answer 1

Resposta:

ver abaixo

Explicação passo-a-passo:

oi vamos lá, observe:

$f(x) = x^2-8x+9\Rightarrow f'(x)=2x-8\Rightarrow f'(3) = 2(3)-8\Rightarrow f'(3) = -2$

equação da reta :

$y-y_0=f'(x)(x-x_0)\Rightarrow y+6 = -2(x-3)\Rightarrow y = -2x+6-6\Rightarrow \fbox{y=-2x}$

letra c)

um abração

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos concluímos que a equação da reta tangente "t" à referida parábola "p", passando pelo ponto "P" é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = -2x \:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:C\:\:\:}}\end{gathered} }$

Se nos foi dado:

       $\Large\begin{cases} p: f(x) = x^{2} - 8x + 9\\P(3, -6)\end{cases}$

Se estamos querendo montar a equação da reta tangente "t" à parábola "p" passando pelo ponto "P" pertencente à referida parábola, devemos utilizar a equação da reta em sua forma ponto declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{P} = m_{t}\cdot(X - X_{P}) \end{gathered}$

Sendo:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}P\in p\:\:\:e\:\:\:P\in t \end{gathered}$      

Sabendo que "mt" - coeficiente angular da reta "t" - é igual à derivada primeira de "f(x)" no ponto "P", ou seja:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_ {t} = f'(3)^{2} \end{gathered}$  

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2\cdot3^{2 - 1} - 1\cdot8\cdot3^{1 - 1} + 0 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2\cdot3^{1} - 1\cdot8\cdot3^{0} + 0 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2\cdot3 - 8 + 0 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 6 - 8 + 0 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -2 \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{t} = -2 \end{gathered}$

Substituindo "mt", e as coordenadas do ponto "P" na equação "I", temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}y - (-6) = -2\cdot(x - 3) \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered}y + 6 = -2x + 6 \end{gathered}$

Chegando neste ponto, percebemos que as opções da referida questão, estão dadas em equações de retas sobre a forma reduzida. Desse modo, devemos encontrar a equação da reta tangente "t" na forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro da equação "II".

Então, temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = -2x + 6 - 6 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = -2x \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente à parábola é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}t: y = -2x \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/38916166
2. https://brainly.com.br/tarefa/40839663

Solução gráfica: