Question

1. Encontre todas as soluções da equação

$1 + \frac{x}{2.1} + \frac{x^{2} }{4.3.2.1} + \frac{x^{3} }{6.5.4.3.2.1} + \frac{ {x}^{4} }{8.7.6.5.4.3.2.1} + ... = 0$

Dica: Considere os casos x >= 0 e x < 0 separadamente.​

Answer 1

Queremos achar as soluções da equação

$S = 1 + \dfrac x{2!} + \dfrac {x^2}{4!} + \dfrac{x^3}{6!} + \cdots+ \dfrac{x^n}{(2n)!} + \cdots = 0$

que envolve uma soma infinita. Para isso, uma maneira é lembrar a série de Taylor da função f(x) = eˣ:

$e^x = 1 + \dfrac x{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \cdots$

Que é convergente para todo x. Logo temos:

$e^{-x} = 1 - \dfrac x{1!} + \dfrac{x^2}{2!} - \cdots + \dfrac{(-x)^n}{n!} + \cdots$

Somando essas duas equações e dividindo por 2 obtemos a série do cosseno hiperbólico:

$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots + \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$

Para x ≥ 0:

$\cosh \sqrt x = 1 + \dfrac{( \sqrt x)^2}{2!} + \dfrac{(\sqrt x)^4}{4!} + \cdots + \dfrac{( \sqrt x)^{2n}}{(2n)!} + \cdots \\[2ex]\phantom{ \cosh \sqrt x} = 1 + \dfrac{ x}{2!} + \dfrac{x^2}{4!} + \cdots + \dfrac{ x^{n}}{(2n)!} + \cdots = S$

Assim, a equação é equivalente a cosh √x = 0, que não possui solução já que eˣ + e⁻ˣ é sempre maior que zero.

Para x ≤ 0:

Nesse caso vamos usar a série do cosseno:

$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^{n} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$

Para y ≥ 0 temos:

$\cos \sqrt y = 1 - \dfrac{y}{2!} + \dfrac{y^2}{4!} - \cdots + (-1)^{n} \dfrac{y^{n}}{(2n)!} + \cdots$

Sendo y = -x isso é:

$\cos \sqrt{-x} = 1 + \dfrac{x}{2!} + \dfrac{x^2}{4!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots + \dfrac{x^n}{(2n)!} + \cdots = S$

Logo a equação fica

cos √(-x) = 0 ⇒ √(-x) = π/2 + kπ

-x =  π/2 + kπ

x = - π² (2k+1)² / 4

Assim, nesse caso as soluções são os números da forma -π² (2k+1)² / 4 com k inteiro.

Obs.: Também podemos deduzir a série do cosseno da mesma forma que o hiperbólico, mas isso requer um pouco de conhecimento de variável complexa. Mais precisamente, precisamos da fórmula de Euler:

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

onde x  é um número real. Além disso precisamos usar também que séries de potências funcionam como as reais e que a exponencial complexa é uma extensão da real. Isso justifica o seguinte:

$e^x = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} +\cdots \\[2ex]e^{ix} = 1 + i \dfrac{x}{1!} + i^2 \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + i^n \dfrac{x^n}{n!} + \cdots$

Lembrando que i² = -1 podemos fazer várias simplificações:

$e^{ix} = 1 + i \cdot \dfrac{x}{1!} - \dfrac{x^2}{2!} - i \cdot\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots$

Podemos também calcular a série de e^(-ix), que é a mesma coisa com o sinal das potências ímpares trocado. Da fórmula de Euler temos que

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i \sin x} \\[1.5ex] e^{-ix} = \cos(-x) + i \sin (-x) \end{cases} \implies \begin{cases} e^{ix} = \cos x + i \sin x} \\[1.5ex] e^{-ix} = \cos x - i \sin x \end{cases} \\[2ex] \begin{center} \therefore \cos x = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\end{center}$

Somando as duas séries e dividindo por 2, obtemos a série do cosseno.

Note a semelhança entre o seno e cosseno usuais e os hiperbólicos:

cosseno hiperbólico é a parte par de e^x

seno hiperbolico é a parte ímpar de e^x

cosseno é a parte real de e^(ix) e é uma função par.

seno é a parte imaginária de e^(ix) e é uma função ímpar.

Resposta:

As soluções são:

$x = - \dfrac{\pi^2 (2k+1)^2}{4}, \qquad k \in \mathbb{Z}$