Question

1-) encontre o valor de "n" para a equação (n+2)!=20•n!

2-) em quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana 6 homens e 6 mulheres em qualquer ordem.

3-) de quantas maneiras distintas se pode ordenar 8 livros de física e 2 de português numa pratileira tal que não contenha a ordem específica.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Estudosa, como a 1ª questão era, como pensávamos, realmente diferente da que você havia colocado anteriormente. Lembre-se que você havia colocado anteriormente que a 1ª questão era esta: (n+2)! = 20. Quando, na realidade, não tem nada disso: a escrita correta é a que você agora está nos fornecendo, que é esta: (n+2)! = 20*n!

Então vamos, agora, responder às suas questões.

1) Encontre o valor de "n" para a equação: (n+2)!=20•n!

Agora sim, temos uma equação envolvendo fatoriais corretamente escrita.
Veja: vamos desenvolver (n+2)! até n!. Fazendo isso, teremos:

(n+2)*(n+1)*n! = 20*n! ----- note que poderemos dividir ambos os membros por n! , com o que iremos ficar apenas com:

(n+2)*(n+1) = 20 ---- desenvolvendo o primeiro membro, temos:
n² + 3n + 2 = 20 ---- passando "20" para o 1º membro, temos:
n² + 3n + 2 - 20 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
n² + 3n - 18 = 0 ---- Agora veja: se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

n' = -6
n'' = 3

Note que descartaremos a raiz para n = -6, pois não existe fatorial de número negativo e ficamos apenas com a outra raiz, que é:

n = 3 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão.

Note: a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como o valor de "n" é igual a "3" mesmo.Veja:

(3+2)! = 20*3!
(5)! = 20*3! ---- ou apenas:
5! = 20*3! ------ desenvolvendo os fatoriais nos 2 membros, teremos:
5*4*3*2*1 = 20*3*2*1
120 = 120 <--- Olha aí como é verdade. Ou seja, olha aí como n = 3 mesmo.

2) em quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana 6 homens e 6 mulheres em qualquer ordem.

Veja: se é em qualquer ordem, então vamos ter uma simples permutação de 12 (pois são 6 homens + 6 mulheres = 12 pessoas). Então teremos:

12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 ---- vai dar um número super grande:
12! = 479.001.600 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão. Ou seja, você poderá colocar em fila indiana essas 12 pessoas de 479.001.600 maneiras em qualquer ordem.

3) de quantas maneiras distintas podem-se ordenar 8 livros de física e 2 de português numa prateleira tal que não contenha ordem específica.

Veja: se não há ordem específica, então vamos ter uma simples permutação de 10 (pois são 2 livros de física + 8 livros de português = 10 livros no total). Assim, é só calcular o fatorial de 10:

10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
10! = 3.628.800 <--- Esta é a resposta para a 3ª questão. Ou seja, poderemos arrumar esses livros de 3.628.800 maneiras diferentes em qualquer ordem.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.