Question

1. Encontre as derivadas das funções a seguir:

a) y = sec x + 1/5x^5

Answer 1

A derivada da função citada na questão é igual a $y'=sec(x).tan(x) - \frac{1}{x^{6} }$.

Para derivarmos a função $y = sec(x) + \frac{1}{5x^{5} }$, precisamos utilizar a regra da soma, descobrindo a derivada de cada elemento que faz parte da expressão. Vamos começar pela sec(x), pois sabemos, através das relações trigonométricas, que a derivada das secantes é igual a multiplicação entre a secante e a tangente da incógnita:

a = sec(x)

a' = sec(x)*tan(x)

Portanto, já resolvemos a primeira parte da função. Agora, devemos derivar o segundo elemento da expressão, e por se tratar de uma fração devemos utilizar a Regra do Quociente:

$\frac{u}{v} =\frac{u'*v - v'*u}{v^{2} }$

Sendo u = 1 e v = $5x^{5}$, sabemos que a derivada de constantes é igual a zero e portanto:

u' = 0

v' = 5 * 5$x^{4}$ = 25$x^{4}$

Agora, basta substituirmos na fórmula da regra do quociente para descobrimos a derivada da segunda parte de nossa função:

$\frac{u}{v} =\frac{u'*v - v'*u}{v^{2} }$

$\frac{u}{v} =\frac{0*5x^{5} - 25x^{4} *1}{(5x^{5})^{2} }\\\\\frac{u}{v} =-\frac{25x^{4}}{25x^{10} }\\\\\frac{u}{v} =-\frac{ 1}{x^{6} }$

Assim, descobrimos que a segunda parte da função derivada é $-\frac{ 1}{x^{6} }$, sendo a função inteira:

$y'=sec(x).tan(x) - \frac{1}{x^{6} }$.