Question

1 – Encontre a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas, usando o método das equações:
a) 0,2333... = b) 0,178585... =

Answer 1

A fração geratriz da cada dízima periódica, é: Item A:  $\dfrac{21}{90}$ e Item B: $\dfrac{1768}{9900}$.

Acompanhe a solução:

Para encontrarmos a ração geratriz sigas os passos descrito abaixo. O intuito é efetuarmos uma conta de subtração para eliminarmos o período (termo que repete).

1. iguale a dízima periódica a "x"
2. Equação 1: multiplique os dois termos em igualdade por um múltiplo de 10 até que haja um número inteiro no lado esquerdo da vírgula, sem o período e o período deve ficar no lado direito da vírgula.  
3. Equação 2: novamente, multiplique os dois temros em igualdade por um multipli de 10 ate que haja um número inteiro no lado esquerdo da vírgula, porém com o período, e o período deve ficar no lado direito da vírgula.
4. Faça a subtração entre a equação 2 e a equação 1.
5. Isolando o "x", obterá a fração geratriz.

Analisando aos itens:

>>> Item A:

$\large\begin {array}{l}x = 2333...\\\\\\\text{Multiplicando por 10 para obter um n\'umero inteiro e ap\'os v\'irgula}\\\text{a d\'izima.}\\\\10\cdot x=10\cdot0,2333...\\\\10\cdot x = 2,333... \text{(equa\c{c}\~ao 1)}}\\\\\\\\\text{Multiplicando por 100 para obter um n\'umero inteiro com o per\'iodo e}\\\text{ap\'os a v\'irgula a d\'izima.}\\\\100\cdot x=100\cdot0,2333...\\\\100\cdot x=23,333...\text{(equa\c{c}\~ao 2)}\\\\\\\end {array}$

Substrindo a Equação 2 com a equação 1:

$\large\begin {array} {l l }&100x=23,333...\\-&~~10x=~2,333...\\\cline {1-2} \\&~~~90x=21\\\\&~~~~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{21}{90}}}\Huge\checkmark\end {array}$

>>> Item B:

$\large\begin {array}{l}x = 178585...\\\\\\\text{Multiplicando por 100 para obter um n\'umero inteiro e ap\'os v\'irgula}\\\text{a d\'izima.}\\\\100\cdot x=100\cdot0,178585...\\\\100\cdot x = 17,8585... \text{(equa\c{c}\~ao 1)}}\\\\\\\\\text{Multiplicando por 10000 para obter um n\'umero inteiro com o per\'iodo}\\\text{e ap\'os a v\'irgula a d\'izima.}\\\\10000\cdot x=10000\cdot0,178585...\\\\10000\cdot x=1785,8585......\text{(equa\c{c}\~ao 2)}\\\\\\\end {array}$

Substrindo a Equação 2 com a equação 1:

$\large\begin {array} {l l }&10000x=1785,8585...\\-&~~~100x=~~~17,8585...\\\cline {1-2} \\&~~9900x=1768\\\\&~~~\boxed{\boxed{x=\dfrac{1768}{9900}}}\Huge\checkmark\end {array}$

Resposta:

Portanto, a fração geratriz de cada item, é:

• Item A:  $\dfrac{21}{90}$
• Item B: $\dfrac{1768}{9900}$

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Bons estudos!