Question

1)      Encontre a equação da função cuja segunda derivada é
igual a 4/3, sabendo que ela passa pelos pontos (3,2) e (6,-4).

Answer 1

A equação em questão é dada por $f(x)=ax^2+bx+c$.

Derivemos,

$f(x)=ax^2+bx+c\\\\f'(x)=2ax+b\\\\f''(x)=2a\\\\\frac{4}{3}=2a\\\\\boxed{a=\frac{2}{3}}$
 
 Uma vez que, $(3,2)\in\,f$. Temos que:

$f(x)=\frac{2x^2}{3}+bx+c\\\\f(3)=\frac{18}{3}+3b+c\\\\3b+c=2-6\\\\c=-4-3b$
 
 Raciocínio análogo para o outro ponto,

$f(x)=\frac{2x^2}{3}+bx+c\\\\f(6)=24+6b+c\\\\6b+c=-4-24\\\\c=-28-6b$
 
 
 Igualando os c's:

$-4-3b=-28-6b\\\\6b-3b=-28+4\\\\3b=-24\\\\\boxed{b=-8}$
 

 E,

$c=-4-3b\\\\c=-4+24\\\\\boxed{c=20}$


 Logo, $\boxed{\boxed{f(x)=\frac{2x^2}{3}-8x+20}}$