Question

1) Em uma progressão geométrica, O segundo termo é
$27 ^{ - 2}$
o terceiro termo é
$9^{4}$
eo quarto termo é
$3 ^{n}$
o valor de n é:



a)22
b)20
c)18
d)16
e)24

Answer 1

Primeiro achamos a razão:

$q = \frac{a_n_+_1}{a_n}$

Usando o segundo e terceiro termos:

$q = \frac{9^{4}}{27^{-2}}$

9 e 27 podem ser escritos na base 3:

$q = \frac{(3^{2})^{4}}{(3^{3})^{-2}} = \frac{3^{8}}{3^{-6}} = 3^{14}$

Usando o termo geral de uma PG:

$A_n = a_1 . q ^{n - 1}$

Não temos a1, mas o termo sucessor de outro em uma PG é igual a esse termo vezes a razão, em outras palavras:

$A_4 = a_3 . q$

Então:

$A_4 = 9^{4} . 3^{14}$

$A_4 = (3^{2})^{4} . 3^{14} = 3^{8} . 3^{14} = 3^{22}$

n = 22

Alternativa A

Answer 2

Olha, a distância entre dois termos de uma progressão geométrica, razão, pode ser encontrada dividindo o termo sucessor pelo anteriror. Veja que temos o segundo, terceiro e quarto termos, assim, dividiremos o terceiro pelo segundo que equivale a razão entre o quarto e terceiro termos. Em termos numéricos teremos:

[(9)^4]/[(27)^-2]=[(3)^n]/[(9)^4], Colocarei tudo em base 3,

[(3)^(2*4)]/[(3)^(-2)*(3)]/=[(3)^n]/[(3)^(2*4)], Organizando

[(3)^(8)]/[(3)^(-6)]/=[(3)^n]/[(3)^(8)], Estando as potências em mesma base, podemos dividí-las mantendo a base e subtrindo os expoentes:

[(3)^(14)]/=[(3)^(n-8)], Agora, podemos simplificar ambas bases, por serem iguais, e manter apenas os expoentes:

14=n-8-->n=14+8=22. Gab: A. Espero ter ajudado!