Question

1) Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(q) = 3q², onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital investido q é dado em milhares de reais, Estime a derivada da produção em q = 1, ou seja, P'(1).

2) Na comercialização de um produto, a taxa de variação da receita em relação à quantidade x comercializada, ou seja, a receita marginal, é dada por R'(x) = 3x² + 400, determine a função receita.

3) Uma empresa competitiva tem a seguinte função de custo no curto prazo:

C(q) = q³ - 8q² + 20q + 5

Determine a função custo marginal desta empresa.

4) Se o custo fixo de uma empresa é R$ 2000,00 e tem uma função custo marginal C'(x) = 0,04³ + 0,03x², determine a função custo total desta empresa.

Answer 1

Boa tarde!

1)
$P(q)=3q^2\\ P'(q)=6q\\ P'(1)=6(1)=6$

2)
$R'(x)=3x^2+400\\ R(x)=\frac{3x^3}{3}+400x+C\\ R(x)=x^3+400x+C$

3)
$C(q)=q^3-8q^2+20q+5\\ C'(q)=3q^2-16q+20$

4)
$C'(x)=0,04x^3+0,03x^2\\ C(x)=\frac{0,04x^4}{4}+\frac{0,03x^3}{3}+K\\ C(0)=2000=K\\ C(x)=0,01x^4+0,01x^3+2000$

Espero ter ajudado!

Answer 2

1) A derivada da produção é P'(x) = 6q

2) A função receita é R(x) = x² + 400x

3) A função custo marginal é C'(q) = 3q² - 8q + 20

4) A função custo total é C(x) = 0,04³x + 0,01x³ + 2000.

Relação entre Função Receita e Receita Marginal e entre Função Custo e Custo Marginal.

• A função receita marginal é a derivada da função receita, assim como a função receita é a integral da receita marginal

• A função custo marginal é a derivada da função receita, assim como a função receita é a integral do custo marginal

A derivada de uma potência é definida por: $f(x)=x^n-->f'(x)=n*x^{n-1}$

A integral de uma potência é definida por: $x^n-->\int\limits{x^n} =\frac{x^{{n+1}}}{{n+1}}$

• 1) A função do capital investido é P(q) = 3q², em que q é o capital investido. Como se trata de uma potência, a derivada da produção é:

$P'(q)=2*3*q^{2-1}=6q$

Como q = 1, a derivada da produção é: $P'(1) = 6*1=6$, ou seja, 6 milhares de litros de detergente.

• 2) A receita marginal da comercialização de um produto é R'(x) 3x² + 400, onde x representa a quantidade do produto. Para determinar a função receita a partir da receita marginal, basta integrá-la. Sendo assim, fazemos:

$R(x)=\int\limits3x^2+400=\frac{3x^3}{3}+400x=x^3+400x$

Logo, a função receita é R(x) = x³ + 400x.

• 3) Dada a função de custo C(q) = q³ - 8q² + 20q + 5, para determinar a função custo marginal é necessário derivar C(q). Assim, fazemos:

$C'(q)=3q^{3-1}-8q^{2-1}+20q^{1-1}+0-->C'(q)=3q^2-8q+20$

Portanto, a função custo marginal é C'(q) = 3q² - 8q + 20.

• 4) A função custo total é definida pela função custo somada ao custo fixo. Sabendo que a função custo marginal é C'(x) = 0,04³ + 0,03x², devemos inicialmente definir a função custo, que é dada pela integral de C'(x).

Logo, temos:

$C=\int\limits0,04^3+0,03x^2=0,04^3x+\frac{0,03x^{2+1}}{2+1}=0,04^3x+0,01x^3$

Portanto, a função custo total desta empresa é C(x) = 0,04³x + 0,01x³ + 2000.

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