Question

1. Em um triângulo retângulo, os catetos medem 6cm e 8 cm. Determine:

a) a medida das projeções ortogonais de cada cateto sobre a hipotenusa.
b) A medida da altura relativa a hipotenusa.

2. Um triângulo retângulo isósceles tem hipotenusa medindo 8 cm. Qual o perímetro desse triângulo?

Answer 1

Bom dia!

1)
Dados:
b=6cm
c=8cm
a=? (hipotenusa)

Calculando a hipotenusa:
$a^2=b^2+c^2\\a^2=6^2+8^2\\a^2=36+64=100\\a=\sqrt{100}=10$

a)
Projeção ortogonal de um cateto sobre hipotenusa. As projeções serão as letras m e n. Então:
Projeção do cateto b sobre hipotenusa a:
$b^2=a.n\\6^2=10.n\\10n=36\\n=3,6$

Projeção do cateto c sobre hipotenusa a:
$c^2=a.m\\8^2=10.m\\10m=64\\m=6,4$

Lembrando-se que a soma das projeções é igual à hipotenusa:
$a=m+n\\10=6,4+3,6$ OK!!!

b) Altura relativa à hipotenusa:
Forma 1:
$a.h=b.c\\10.h=6.8\\10.h=48\\h=4,8$

Forma 2:
$\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\\\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}\\\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{8^2+6^2}{48^2}\\\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{100}{48^2}\\\dfrac{1}{h}=\dfrac{10}{48}\\h=4,8$

2)
Triângulo retângulo de hipotenusa 8cm e ISÓSCELES (os dois catetos tem mesmas medidas). Chamando a medida de um cateto de x e aplicando-se o teorema de Pitágoras:
$8^2=x^2+x^2\\64=2x^2\\x^2=32\\x=4\sqrt{2}$

Perímetro:
$8+2x=8+2\cdot 4\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}=8\left(1+\sqrt{2}\right)$

Espero ter ajudado!

Answer 2

1. a) A medida das projeções ortogonais de cada cateto sobre a hipotenusa: m = 6,4 e n = 3,6.

b) A medida da altura relativa à hipotenusa é h = 4,8 cm.

2. O perímetro desse triângulo é 8(√2 + 1) cm.

Relações métricas no triângulo retângulo

Para o cálculo das medidas das projeções ortogonais, podemos utilizar as expressões: b² = a·n e c² = a·m.

Para isso, é necessário obter a medida da hipotenusa a. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

a² = b² + c²

a² = 6² + 8²

a² = 36 + 64

a² = 100

a = 10 cm

Então:

b² = a·n

6² = 10·n

36 = 10·n

n = 36/10

n = 3,6 cm

c² = a·m

8² = 10·m

64 = 10·m

m = 64/10

m = 6,4 cm

b) Para o cálculo da altura relativa à hipotenusa, podemos usar h² = m·n.

h² = m·n

h² = 6,4·3,6

h² = 23,04

h = 4,8 cm

2. Como o triângulo é isósceles, os dois catetos menores têm a mesma medida. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

x² + x² = 8²

2x² = 64

x² = 64/2

x² = 32

x = √32 cm ou 4√2 cm

O perímetro é a soma de todos os lados do polígono. Portanto, o perímetro será:

p = 4√2 + 4√2 + 8

p = 8√2 + 8

p = 8(√2 + 1) cm

Mais sobre relações métricas no triângulo retângulo em:

https://brainly.com.br/tarefa/17435447

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