Question

1)Em um triangulo,a medida do maior angulo interno é 105°. Determine as medidas de seus ângulos internos,sabendo que elas estão em P.A (progressão aritmética)

2) Em um treinamento aeróbico mensal um estudante de educação física corre sempre 3 minutos a mais do que correu no dia anterior. Se no quinto dia o estudante correy 17 minutos,quanto tempo correrá no dia 12° (em P.A)

3)Qual é o numero de termos da P.A (131,138,145,...,565)?

4) Quantos numeros impares existem entre 72 e 468?

5) Sabendo que (x+1),(3x-2) e (2x+4) formam,nessa ordem uma P.A,calcular o valor de x e a razão dessa P.A

Muito obrigada gente.

Answer 1

Questão 1


A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°:

Aplicando a fórmula da soma dos n termos da P.A., onde a1, não sabemos, Sn=180, número de termos n=3, pois queremos descobrir os 3 lados do triângulo e o último termo An=105°.

$Sn= \frac{(a1+An)n}{2}$

$180= \frac{(a1+105)3}{2}$

$180*2=3 _{a1} +315$

$360=3 _{a1}+315$

$360-315=3 _{a1}$

$45=3 _{a1}$

$a1= \frac{45}{3}$

a1=15°

Como sabemos que a1 é 15° e a3 é 105°, vamos aplicar a 2a propriedade da P.A.,  a média aritmética:

$a,b,c$ .:. $b= \frac{a+c}{2}$

$a2= \frac{a1+a3}{2}$

$a2= \frac{15+105}{2}$

$a2= \frac{120}{2}$

a2=60°


Resposta: os ângulos são: 15°, 60° e 105° 



Questão 2 


razão 3 min.
    a5,          a6,          a7,         a8,         a9,         a10,       a11,        a12 
 5° dia............................................................................................12° dia
17 min.                                                                                            ? min.
     |__________________________________________________________|
                                                     8 dias
         
Aplicando a fórmula do termo geral da P.A., temos:

An=a5+(n-1)r
A12=17+(8-1)3
A12=17+7*3
A12=17+21
A12=38

Resposta: Correrá 38 minutos



Questão 3

Coletando os dados da P.A., temos:

a1=131 .:. r=a2-a1 ==> r=138-131 ==> r=7 .:. An=565 .:. número de termos n=?

Aplicando a fórmula do termos geral da P.A.:

An=a1+(n-1)r
365=131+(n-1)7
565-131=7n-7
   434= 7n-7
  434+7=7n
    441 = 7n
       n=441/7
        n=63


Resposta: 63 termos



Questão 4

números ímpares entre 72 e 468:

                  72,73..........................................467,468
                        |                                              |
             1° número ímpar                   último número ímpar
                      a1                                            An

         r=2             e           quantidade de números ímpares n?

Aplicando a fórmula do termo geral da P.A.:

An=a1+(n-1)r
467=73+(n-1)2
 467-73=2n-2
    394 = 2n-2
    394+2=2n
       396=2n
         n=396/2
            n= 198


Resposta: Existem 198 números ímpares



Questão 5


P.A.(x+1, 3x-2, 2x+4)

Aplicando a 2a propriedade da P.A. (média aritmética), temos:

$a,b,c$ .:. $b= \frac{a+c}{2}$

$3x-2= \frac{2x+4+x+1}{2}$

$(3x-2)*2= 3x+5$

$6x-4=3x+5$

$6x-3x=5+4$

$3x=9$

$x= \frac{9}{3}$

$x=3$

Substituindo o valor de x, vamos determinar a P.A.:

(x+1), (3x-2), (2x+4)
 3+1 ,  3*3-2, 2*3+4
   4   ,   7   ,    10
 
 
Resposta: P.A.(4,7,10) 

Answer 2

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• As questões são sobre progressão aritmética;
• O termo geral da PA é an = a1 + (n-1).r;
• A soma dos termos da PA é Sn = (a1 + an).n/2;

Com essas informações,  podemos responder as questões:

1) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, logo: a + b + 105° = 180°, sendo a, b e 105° uma PA:

180° = (a + 105°).3/2

360°/3 = a + 105°

120° - 105° = a

a = 15°

O valor de b será igual a média entre 15° e 105°:

b = (15 + 105)/2

b = 60°

2) Do enunciado, temos a5 = 17 e r = 3, logo:

a12 = a1 + (12 - 1).3

a12 = a1 + 33

Podemos escrever a1 em função de a5 como: a1 = a5 - 4.r:

a12 = 17 - 4.3 + 33

a12 = 50 - 12

a12 = 38 minutos

3) Sabendo o primeiro e último termo, podemos calcular a razão e encontrar o número de termos:

r = 138 - 131 = 7

565 = 131 + (n - 1).7

n - 1 = 62

n = 63 termos

4) O primeiro número ímpar será 73 e o último será 467 com razão 2, logo:

467 = 73 + (n - 1).2

197 = n - 1

n = 198 números ímpares

5) O segundo termos é a média entre o primeiro e terceiro, logo:

3x - 2 = (x + 1 + 2x + 4)/2

6x - 4 = 3x + 5

3x = 9

x = 3

Os termos da PA são 4, 7 e 10, logo a razão será 3.

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