Question

1-Em um cone , a geratriz forma com o eixo um angulo de 30°. Determine a área lateral desse cone, sabendo-se que seu raio mede 5 cm.


2- O volume de um cilindro reto é 1225pi , e sua altura 35 cm. Determine o volume de um cone de revolução, sendo sua base a mesma do cilindro e sua geratriz a geratriz do cilindro.

Answer 1

Á área lateral de um cone circular é obtida em função do raio e da geratriz desse cone: $\mathsf{A_l=\pi. g.r}$

Como já temos o raio, precisamos calcular a geratriz. Sabendo que o ângulo formado pelo eixo do cone circular é de 30º e o raio é de 5 cm, podemos usar o seno de 30º para achar a geratriz:

$\mathsf{1-}\\\\\mathsf{sen(x)=\dfrac{cateto~oposto}{hipotenusa}}\\\\\\\mathsf{sen(30)=\dfrac{1}{2}}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{g}}\\\\\boxed{\mathsf{g=10~cm}}$

Calculando a área:

$\mathsf{A_l=\pi.10.5~\Rightarrow \boxed{\mathsf{A_l=50\pi~cm^2}}}$

$\mathsf{2-}$

Sabendo que o volume de um cilindro é obtido pelo produto entre a área da base e sua altura, temos: $\mathsf{V_c=r^2.\pi.h}$

r = raio
h = altura

Primeiro vamos obter o raio cilindro:

$\mathsf{1.225\pi=r^2.\pi.35}\\\\\mathsf{r^2.\diagup\!\!\!\!\pi=\dfrac{1.225\diagup\!\!\!\!\pi}{35}}\\\\\boxed{\mathsf{r=\sqrt{35}}}$

Como é um cilindro reto, sua altura é igual a sua geratriz, ou seja, 35 cm.

Sabendo o raio e a geratriz do cone, podemos usar Pitágoras para encontrar sua altura, onde a hipotenusa será a geratriz e um dos catetos o raio:

$\mathsf{(\sqrt{35})^2+h^2=35^2}\\\mathsf{35+h^2=1.225}\\\mathsf{h^2=1.225-35}\\\\\boxed{\mathsf{h=\sqrt{1.190}}}$

Volume de um cone é dado pela equação: $\mathsf{V=\dfrac{r^2.\pi.h}{3}}$

Colocando as informações na equação para achar o volume:

$\mathsf{V=\dfrac{(\sqrt{35})^2\pi.\sqrt{1.190}}{3}}\\\\\boxed{\mathsf{V=\dfrac{35\pi\sqrt{1.190}}{3}~cm^3}}$

Irei adicionar uma imagem para elucidar melhor a primeira resposta.

Dúvidas? comente