Question

1) Em 4 pessoas escolhidas ao acaso na multidão:
a) Qual a probabilidade de que nenhum deles seja do signo de aquário?
b) Qual a probabilidade de que entre eles haja exatamente 2 aquarianos?
c) Qual a probabilidade de que haja no mínimo 2 aquarianos entre os 4?
d) Qual o número esperado de aquarianos entre os 4?

Answer 1

Para essa questão, utilizaremos a Distribuição Binomial com parâmetros n e p:

$P(x=k) = C(n,k).p^k.(1-p)^{n-k}$.

Sabemos que existem 12 signos no zodíaco. Então, $p=\frac{1}{12}$.

Além disso, 4 pessoas foram escolhidas ao acaso. Então n = 4.

a) Como queremos a probabilidade de que nenhuma das 4 pessoas seja do signo de aquário, então k = 0.

Assim,

$P(x=0) = C(4,0).(\frac{1}{12})^0.(1-\frac{1}{12})^{4-0}$

$P(x=0) = \frac{4!}{0!4!}.1.(\frac{11}{12})^4$

P(x = 0) ≈ 0,7061.

Portanto, a probabilidade é de, aproximadamente, 70,61%.

b) Queremos que entre as 4 pessoas tenha exatamente 2 aquarianos. Então k = 2.

Assim,

$P(x=2) = C(4,2).(\frac{1}{12})^2.(1-\frac{1}{12})^{4-2}$

$P(x=2)=\frac{4!}{2!2!}.\frac{1}{144}.\frac{121}{144}$

P(x = 2) ≈ 0,0350.

Portanto, a probabilidade e de, aproximadamente, 3,50%.

c) Queremos que haja no mínimo 2 aquarianos entre as 4 pessoas. Então, k = 2, 3 ou 4.

Assim,

$P(2\leq x\leq 4) = C(4,2).(\frac{1}{12})^2.(1-\frac{1}{12})^{4-2} + C(4,3).(\frac{1}{12})^3.(1-\frac{1}{12})^{4-3} + C(4,4).(\frac{1}{12})^4.(1-\frac{1}{12})^{4-4}$

$P(2\leq x\leq 4) = \frac{4!}{2!2!}.(\frac{1}{12})^2.(\frac{11}{12})^2 + \frac{4!}{3!1!}.(\frac{1}{12})^3.(\frac{11}{12})^1 + \frac{4!}{0!4!}.(\frac{1}{12})^{4}.(\frac{11}{12})^0$

P(2 ≤ x ≤ 4) ≈ 0,0372

Portanto, a probabilidade é de, aproximadamente, 3,72%.

d) Para calcular o número esperado de aquarianos, utilizaremos a fórmula E(x) = n.p.

Assim,

$E(x)=4.\frac{1}{12}$

$E(x) = \frac{1}{3}$

E(x) = 0,333...