Question

1- Efetue a divisão de z= 2 +4i por z=4 +2i.
(5+4i)/20
(10+4i)/20
(5+4i)/10
(5+4i)/5
(4+2i)/5​

Answer 1

Após efetuar a divisão dos números complexos, temos que o quociente é igual a (4 + 3i)/5, não correspondendo à alguma alternativa (N.D.A).

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Considerações

Um número complexo é constituído de números reais e imaginários, se situando na forma z = a + bi, sendo z: número complexo; a: parte real; b: parte imaginária (multiplicada pela unidade imaginária i, que é igual à √̅ ̅–̅ ̅1̅ ).

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Voltando à questão

Desejamos efetuar uma divisão de números complexos, de z₁ = 2 + 4i por z₂ = 4 + 2i. Para achar o quociente, vamos montar a expressão no formato a/b e calcular:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+4i}{4+2i}\end{array}}$

Inicialmente podemos colocar o fator comum em evidência [ab + ac = a(b + c)] tanto no numerador quanto no denominador:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2(1+2i)}{2(2+i)}\\\\\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\diagdown\!\!\!\!2(1+2i)}{\diagdown\!\!\!\!2(2+i)}\\\\\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1+2i}{2+i}\end{array}}$

Sempre que dividimos números complexos devemos multiplicar o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z = a + bi é dado por  z̅ = a – bi, assim, basta que troquemos o sinal da parte imaginária:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1+2i\cdot(2-i)}{2+i\cdot(2-i)}\\\\\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2-i+4i-2i^2}{4-2i+2i-i^2}\\\\\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+3i-2i^2}{4-i^2}\end{array}}$

Como sabemos que i = √̅ ̅–̅ ̅1̅ , então i² = (√̅ ̅–̅ ̅1̅ )² ⇒ i² = – 1:

$\\\large\boldsymbol{\!\begin{array}{l}\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+3i-2(-\,1)}{4-(-\,1)}\\\\\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+3i-(-\,2)}{4+1}\\\\\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+3i+2}{5}\\\\\!\boxed{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4+3i}{5}}\end{array}}$

Portanto, o quociente dessa operação não se configura em nenhuma alternativa.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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