Question

1) É dada uma função real tal que:
I. f (x).f (y)=f (x+y)
II. f (1)=2
III. f (raiz 2)=4

$calcule \: f(3 + \sqrt{2)}$

Answer 1

Como

$f(x + y) = f(x) \times f(y)$

então

$f(3 + \sqrt{2} ) = f(3) \times f( \sqrt{2} )$

Temos que

$f( \sqrt{2} ) = 4$

Mas precisamos de f(3).

Observe que:

$f(3) = f(1 + 2) = f(1) \times f(2)$

e
$f(2) = f(1 + 1) = f(1) \times f(1)$

Foi dado que

$f(1) = 2$

Logo,

$f(2) = f(1) \times f(1) = 2 \times 2 = 4$

e

$f(3) = f(1) \times f(2) = 2 \times 4 = 8$

Daí,

$f(3 + \sqrt{2} ) = f(3) \times f( \sqrt{2} ) = 8 \times 4 = 32$

Answer 2

Com o estudo de função e sua lei de formação temos como resposta f(3 + $\sqrt{2}$) = 8 . 4 = 32

Função

Vamos considerar uma relação f de A em B tal que qualquer elemento de A esteja associado, através de f, a um único elemento de B. Essa propriedade caracteriza um tipo particular de relação, ao qual damos o nome de função de A em B. Assim, definimos

"Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é função se, e somente se, qualquer elemento de A estiver associado, atráves de f, a um único elemento de B. Adotaremos a notação f : A -> B para indicar que f é uma função de A em B"

Destacamos que, como uma função f : A -> B é um tipo particular de relação, temos:

• o domínio da função é o conjunto D(f) = A;
• o contradomínio da função é o conjunto CD(f) = B;
• o conjunto imagem da função é o conjunto Im(f) = {y ∈ B/ (x, y) ∈ f}

Imagem de x pela função

Se (x, y) pertence a uma função f, a ordenada y é chamada de imagem de x pela função f que indicaremos por y = f(x). Vamos considerar a função f: IR -> IR em que cada elemento x do domínio IR é associada a um único elemento do contradomínio IR através da lei f(x) = 5x - 2. A lei informa que cada x do domínio é o número 5x - 2 do contradomínio.

Vamos fazer um exemplo antes de irmos para questão proposta. Exemplo: Uma função $f:R- > R_{+}^{*}$ é tal que $f(a+b)=f(a).f(b) ef(1)=9$.Calcular.

a)$f(2)$

b)$f(0)$

a)Podemos escrever 2 = 1 + 1; logo f(2) = f(1 + 1) = f(1) . f(1) = 9 . 9 ⇒ f(2) = 81

b)Podemos escrever 0 = 0 + 0; logo f(0) = f(0 + 0) = f(0) . f(0). Por hipótese, f(0) ∈ $R_{+} ^{*}$. Assim, temos: f(0) = f(0) . f(0) ⇒ f(0)/f(0) = f(0) e, portanto f(0) = 1.

Com esse exemplo podemos resolver agora a questão proposta. Como f(x) . f(y) = f(x + y) então f(3 + $\sqrt{2}$) = f(3) . f($\sqrt{2}$). Temos que f($\sqrt{2}$) = 4 e f(3) = f(1 + 2) = f(1) . f(2) = f(1) . f(1) . f(1) = 2 . 2 . 2 = 8,logo f(3) = 8 e daí f(3 + $\sqrt{2}$) = 8 . 4 = 32.

Saiba mais sobre função e sua lei de formação: https://brainly.com.br/tarefa/2864795

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