Question

1) Duas pedras, A e B, de massas, respectivamente, 1 kg e 2 kg, foram lançadas verticalmente para cima, ambas com velocidades escalares de 15 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2, responda: c) Em quais instantes as pedras atingiram a altura de 10 m em relação ao solo
resposta t= 1 e t=2 fazer por fórmula de bhaskara

Answer 1

Resposta:

t = 1 s e t = 2 s.

Explicação:

A resposta INDEPENDE das massas das pedras, uma vez que desprezamos a resistência do ar.

O gráfico da posição vertical (altura) alcançada por cada pedra em cada instante de tempo será o mesmo.

Isto porque a eq. horária para as duas pedras é a mesma:

$y = v_0t -\frac{1}{2}gt^2,$

com $v_0$ sendo a velocidade inicial dada, g a aceleração da gravidade e y a posição vertical no instante t. Aqui eu considerei que foram lançadas de $y_0 = 0$, pois o referencial é arbitrário.

Queremos saber qual o valor de t para y = 10 m. Logo, temos que resolver uma equação do segundo grau. Note que a equação horária acima nada mais é do que:

$y = ax^2 + bx + c,$

com $a = -\frac{1}{2}g,\; b = v_0,\; c = 0$, se você comparar as expressões.

Reescrevendo a eq. horária com os valores dados, temos:

$10 = 15t - 5t^2\\-5t^2+15t-10 = 0\\t^2 - 3t + 2 = 0$

Na segunda para a terceira linha, o que eu fiz foi dividir toda a equação por -5, para facilitar os cálculos.

Note que agora temos claramente: $a = 1, \; b = -3, \; c = 2$.

Cálculo do $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Fórmula quadrática: $t_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Substituindo os valores:

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}$

Portanto,

$t_1 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\;\mathrm{s}$

e

$t_2 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\;\mathrm{s}$

Vamos à interpretação destas respostas.

Por que as pedras passam pela altura de 10 m em DOIS instantes distintos?

Não há outra alternativa. Como a eq. horária, ou seja, a equação que descreve o movimento das pedras é uma equação do segundo grau, então são parábolas no plano (t, y).

Isto significa que quando as pedras passam pelo y = 10 m, elas ainda estão subindo.

Veja que elas atingem o vértice da parábola (= altura máxima) em $t_{max} = \frac{v_0}{g} = \frac{15}{10} = 1{,}5\;\mathrm{s}$

E qual é a altura máxima? $y_{max} = 15\cdot 1{,}5 - 5\cdot 1{,}5^2 = 11{,}25\;\mathrm{m}$,

comprovando a nossa constatação de que as pedras só podem estar subindo para passar duas vezes pelo mesmo ponto!