1) Devido à exploração da terra pelo lucro a qualquer custo, muito se tem lutado para recuperar áreas degradadas. Em uma certa região, alguns ambientalistas resolveram recuperar uma parte de uma grande área devastada. Mas para isso, precisavam cercar o local. Eles receberam 200 metros de tela para fazer o cercamento e querem aproveitar para cercar a maior área que for possível. O formato do cercamento será retangular. Qual a maior área que conseguirão cercar com esse formato?
Soluções para a tarefa
Resposta:
2500 m²
Explicação passo-a-passo:
Sabendo que a área é retangular, temos que terão 4 lados, sendo que os lados opostos serão iguais (imagine o retângulo).
Chamaremos o lado menor de "a" e o lado maior de "b".
O enunciado também nos diz que são 200 metros de tela, o que nos dá a entender que todos os lados somados (perímetro) é:
2a + 2b = 200
Então, dividindo tudo por 2:
a + b = 100 [parte 1]
Por último, a informação final é de que a área deve ser a maior possível. A área de um retângulo é a base multiplicado pela altura, que nesse caso, será:
a.b = ? [parte 2]
Vamos isolar uma variável da parte 1 e substituir na parte 2:
a + b = 100
a = 100 - b
a.b = (100 - b) . b = 100b - b²
ou
a + b = 100
b = 100 - a (edição - correção)
a.b = a . (100 - a) = 100a - a²
Não importa o que escolha, tenha em mente que para que o valor de "a" ou "b" seja máximo, a derivada da equação deve ser zero (isso vem de Cálculo, mas você vai entender a ideia com exemplos mais a frente, mas abaixo vai uma palinha...):
Derivando, temos:
da = 100 - 2a = 0
a = 50 m
Ora, se no maior valor possível, a = 50, então b = 50...isso nos dá um quadrado.
Agora, vamos à lógica:
Primeiro, todo quadrado é um retângulo.
Segundo, tomando a fórmula de área e pegando exemplos distintos, vemos bem que a área maior será de um quadrado, veja:
Exemplo 1
a = 10 m
b = 90 m
A = 10 . 90 = 900 m²
Exemplo 2
a = 40 m
b = 60 m
A = 40 . 60 = 2400 m²
Exemplo 3 (a solução)
a = 50 m
b = 50 m
A = 50 . 50 = 2500 m²
Assim, não precisa nem entender Cálculo, pra entender o conceito.
A maior área possível é um quadrado de lados iguais, que neste caso, teria lado de 50 m.