Question

1- Determine x, sabendo que 1,x -1, 1/4, estão em PG

Answer 1

Dada a P.G (Progressão geométrica):

$\mathsf{\left(1,x-1,\dfrac{1}{4}\right)}$

onde:

๏ $\mathsf{a_1=1}$
๏ $\mathsf{a_2=x-1}$
๏ $\mathsf{a_3=1/4}$

A razão da P.G é dada por:

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}\\\\\\\mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_1}}\\\\\\\mathsf{q=\dfrac{x-1}{1}}\\\\\\\mathsf{q=x-1}$

Substituindo os valores na formula gera da P.G:

$\mathsf{a_n=a_k\cdot q^{n-k}}\\\\\mathsf{a_3=a_1\cdot q^{3-1}}\\\\\mathsf{a_3=a_1\cdot q^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{4}=1\cdot \left(x-1\right)^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{4}=\left(x-1\right)^2}\\\\\\\mathsf{\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}}\\\\\\\mathsf{x-1=\pm \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}\\\\\\\mathsf{x-1=\pm \dfrac{1}{2}}\\\\\\\mathsf{x=1\pm \dfrac{1}{2}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{2}{2}\pm \dfrac{1}{2}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{2\pm 1}{2}}$


$\mathsf{x_1=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}}\\\\\\\mathsf{x_1=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}}$

Logo:

$\boxed{\mathsf{S=\left\{x\in \mathbb{R}\:,\:x=\frac{3}{2}\:ou\:x=\frac{1}{2}\right\}}}\: \: \checkmark$