Question

1. Determine um operador linear em ℝ3 cujo núcleo é gerado pelos vetores (1,1,0), (0,0,1) e cuja imagem é gerada pelo vetor (1, -1, 1).

Answer 1

Como (1,1,0) e (0,0,1) são vetores que geram o núcleo, então:

T(1,1,0) = (0,0,0)
T(0,0,1) = (0,0,0)

A imagem é gerada pelo vetor (1,-1,1). Escolhendo a base canônica, temos que:

T(1,0,0) = (1,-1,1)

Então,

(x,y,z) = a(1,1,0) + b(0,0,1) + c(1,0,0)
(x,y,z) = (a + c, a, b)

Ou seja, temos o seguinte sistema:

{x = a + c
{y = a
{z = b

Como y = a, então x = y + c ∴ c = x - y.

Logo,

(x,y,z) = y(1,1,0) + z(0,0,1) + (x - y)(1,0,0)
T(x,y,z) = yT(1,1,0) + zT(0,0,1) + (x - y)T(1,0,0)

Substituindo os valores inicialmente definidos:

T(x,y,z) = y(0,0,0) + z(0,0,0) + (x - y)(1,-1,1)

Portanto, 

T(x,y,z) = (x - y, -x + y, x - y)