1. Determine os valores dos coeficientes a, b ec nas equações do 22 Grau abaixo, classifique-as em
completa ou incompleta e encontre suas
s raízes, observando os exemplos anteriores.
Soluções para a tarefa
Para responder precisamos saber como determinar os valores dos coeficientes, o que faz as equações do 2º grau serem completas ou incompletas e como encontrar suas raízes.
- O que são os coeficientes da equação do 2º grau?
São os números que acompanham os termos x², x e que aparecem sem a variável ao lado.
a → número que acompanha o x²
b → número que acompanha o x
c → número que vem sozinho.
Quando algum destes termos não aparece na equação, isso significa que eles valem zero. Quando os termos aparecem sem nenhum número ao lado, o coeficiente é 1. ou -1, dependendo do sinal que estiver antes deles.
- O que são equações completas e incompletas?
Elas são completas quando temos todos os coeficientes b e c diferentes de zero. E incompletas quando b, c ou ambos são iguais a zero.
- Como encontrar as raízes da equação?
As equações incompletas podem ser resolvidas por fatoração e para as completas utilizamos a fórmula de Bhaskara que consiste em:
Chamamos o termo dentro da raiz de discriminante ou delta.
Assim, a fórmula fica:
Vamos então ao exercício:
- a) x² - 10x + 21
→ a = 1 | b = -10 | c = 21
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 7 e x₂ = 3
- b) -x² + 14x - 49
→ a = -1 | b = 14 | c = -49
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 7 e x₂ = 7
Chamamos de raiz dupla, quando ocorre das duas raízes encontradas serem iguais. Isso significa que a equação tem 1 raiz.
- c) x² - 2x + 5
→ a = 1 | b = -2 | c = 5
→ Equação Completa
→ Raízes: não possui raízes
Como não existe raiz quadrada de -16 dentro do conjunto dos reais, logo não há como encontrar as raízes.
- d) x² + x - 12
→ a = 1 | b = 1 | c = -12
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 3 e x₂ = -4
e) x² + 8x
→ a = 1 | b = 8 | c = 0
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 0 e x₂ = -8
Cálculo das raízes:
x² + 8x = 0 → x(x + 8) = 0
x = 0
x + 8 = 0 → x = -8
f) x² - 81
→ a = 1 | b = 0 | c = -81
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 9 e x₂ = -9
Cálculo das raízes:
x² - 81 = 0
x² = 81
x = √81
x = 9 ou x = -9
g) 3x² - 15x
→ a = 3 | b = -15 | c = 0
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 0 e x₂ = 5
Cálculo das raízes:
3x² - 15x = 0 → 3x(x - 5) = 0
3x = 0 → x = 0
x - 5 = 0 → x = 5
h) 4x² - 49
→ a = 4 | b = 0 | c = -49
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 7/2 e x₂ = -7/2
Cálculo das raízes:
4x² - 49 = 0
4x² = 49
x² = 49/4
x = √49/√4
x = 7/2 ou x = -7/2
i) x² - 2x + 1
→ a = 1 | b = -2 | c = 1
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 1 e x₂ = 1
j) 2x² - x - 10
→ a = 2 | b = -1 | c = -10
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 5/2 e x₂ = -2
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Resposta:
Para responder precisamos saber como determinar os valores dos coeficientes, o que faz as equações do 2º grau serem completas ou incompletas e como encontrar suas raízes.
O que são os coeficientes da equação do 2º grau?
São os números que acompanham os termos x², x e que aparecem sem a variável ao lado.
a → número que acompanha o x²
b → número que acompanha o x
c → número que vem sozinho.
Quando algum destes termos não aparece na equação, isso significa que eles valem zero. Quando os termos aparecem sem nenhum número ao lado, o coeficiente é 1. ou -1, dependendo do sinal que estiver antes deles.
O que são equações completas e incompletas?
Elas são completas quando temos todos os coeficientes b e c diferentes de zero. E incompletas quando b, c ou ambos são iguais a zero.
Como encontrar as raízes da equação?
As equações incompletas podem ser resolvidas por fatoração e para as completas utilizamos a fórmula de Bhaskara que consiste em:
x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}x
1,2
=
2.a
−b±
b
2
−4.a.c
Chamamos o termo dentro da raiz de discriminante ou delta.
\Delta= b^2-4.a.cΔ=b
2
−4.a.c
Assim, a fórmula fica:
x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2.a}x
1,2
=
2.a
−b±
Δ
Vamos então ao exercício:
a) x² - 10x + 21
→ a = 1 | b = -10 | c = 21
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 7 e x₂ = 3
\begin{gathered}Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-10)^2-4.1.21\\\Delta = 100 - 84\\\Delta = 16\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-(-10)+4}{2.1} = \dfrac{10+4}{2} = 7\\\\x_2 = \dfrac{-(-10)-4}{2.1} = \dfrac{10-4}{2} = 3\\\\\end{gathered}
Calculando Δ:
Δ=(−10)
2
−4.1.21
Δ=100−84
Δ=16
Δ
=
16
=4
Encontrando raizes:
x
1
=
2.1
−(−10)+4
=
2
10+4
=7
x
2
=
2.1
−(−10)−4
=
2
10−4
=3
b) -x² + 14x - 49
→ a = -1 | b = 14 | c = -49
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 7 e x₂ = 7
\begin{gathered}Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (14)^2-4.(-1).(-49)\\\Delta = 196 - 196\\\Delta = 0\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{0} = 0\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-14+0}{2.(-1)} = \dfrac{-14}{-2} = 7\\\\x_2 = \dfrac{-14-0}{2.(-1)} = \dfrac{-14}{-2} = 7\\\\\end{gathered}
Calculando Δ:
Δ=(14)
2
−4.(−1).(−49)
Δ=196−196
Δ=0
Δ
=
0
=0
Encontrando raizes:
x
1
=
2.(−1)
−14+0
=
−2
−14
=7
x
2
=
2.(−1)
−14−0
=
−2
−14
=7
Chamamos de raiz dupla, quando ocorre das duas raízes encontradas serem iguais. Isso significa que a equação tem 1 raiz.
c) x² - 2x + 5
→ a = 1 | b = -2 | c = 5
→ Equação Completa
→ Raízes: não possui raízes
\begin{gathered}Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-2)^2-4.1.5\\\Delta = 4 - 20\\\Delta = -16\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{-16} \notin \mathbb{R}\\\\\end{gathered}
Calculando Δ:
Δ=(−2)
2
−4.1.5
Δ=4−20
Δ=−16
Δ
=
−16
∈
/
R
Como não existe raiz quadrada de -16 dentro do conjunto dos reais, logo não há como encontrar as raízes.
d) x² + x - 12
→ a = 1 | b = 1 | c = -12
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 3 e x₂ = -4
\begin{gathered}Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (1)^2-4.1.(-12)\\\Delta = 1 + 48\\\Delta = 49\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-1+7}{2.1} = \dfrac{6}{2} = 3\\\\x_2 = \dfrac{-1-7}{2.1} = \dfrac{-8}{2} = -4\\\\\end{gathered}
Calculando Δ:
Δ=(1)
2
−4.1.(−12)
Δ=1+48
Δ=49
Δ
=
49
=7
Encontrando raizes:
x
1
=
2.1
−1+7
=
2
6
=3
x
2
=
2.1
−1−7
=
2
−8
=−4
e) x² + 8x
→ a = 1 | b = 8 | c = 0
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 0 e x₂ = -8
Cálculo das raízes:
x² + 8x = 0 → x(x + 8) = 0
x = 0
x + 8 = 0 → x = -8
f) x² - 81
→ a = 1 | b = 0 | c = -81
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 9 e x₂ = -9
Cálculo das raízes:
x² - 81 = 0
x² = 81
x = √81
x = 9 ou x = -9
g) 3x² - 15x
→ a = 3 | b = -15 | c = 0
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 0 e x₂ = 5
Cálculo das raízes:
3x² - 15x = 0 → 3x(x - 5) = 0
3x = 0 → x = 0
x - 5 = 0 → x = 5
h) 4x² - 49
→ a = 4 | b = 0 | c = -49
→ Equação Incompleta
→ Raízes: x₁ = 7/2 e x₂ = -7/2
Cálculo das raízes:
4x² - 49 = 0
4x² = 49
x² = 49/4
x = √49/√4
x = 7/2 ou x = -7/2
i) x² - 2x + 1
→ a = 1 | b = -2 | c = 1
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 1 e x₂ = 1
\begin{gathered}Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-2)^2-4.1.(1)\\\Delta = 4 -4\\\Delta = 0\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{0} = 0\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-(-2)+0}{2.1} = \dfrac{2}{2} = 1\\\\x_2 = \dfrac{-(-2)-0}{2.1} = \dfrac{2}{2} = 1\\\\\end{gathered}
Calculando Δ:
Δ=(−2)
2
−4.1.(1)
Δ=4−4
Δ=0
Δ
=
0
=0
Encontrando raizes:
x
1
=
2.1
−(−2)+0
=
2
2
=1
x
2
=
2.1
−(−2)−0
=
2
2
=1
j) 2x² - x - 10
→ a = 2 | b = -1 | c = -10
→ Equação Completa
→ Raízes: x₁ = 5/2 e x₂ = -2
\begin{gathered}Calculando \ \Delta:\\\\\Delta = (-1)^2-4.2.(-10)\\\Delta = 1 + 80\\\Delta = 81\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{81} = 9\\\\Encontrando \ raizes:\\\\x_1 = \dfrac{-(-1)+9}{2.2} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52\\\\x_2 = \dfrac{-(-1)-9}{2.2} = \dfrac{-8}{4} = -2\\\\\end{gathered}
Calculando Δ:
Δ=(−1)
2
−4.2.(−10)
Δ=1+80
Δ=81
Δ
=
81
=9
Encontrando raizes:
x
1
=
2.2
−(−1)+9
=
4
10
=
2
5
x
2
=
2.2
−(−1)−9
=
4
−8
=−2