Question

1) Determine os valores de x, para que exista o log3x-2 243.

2) o desenvolvimento logaritmico da expressão log2(5√x/y3) é?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Antes de iniciarmos a respectiva resolução, considere a expressão logarítmica $log_{a}(b)=x$. Por definição, o número $b$ é dito logaritmando, que por sua vez deve ser real e positivo $\left(b\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)$. O número $a$ é a base do logaritmo, que é um número real positivo e diferente de um $\left(a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\{1\}\right)$. Postas as condições acima, segue abaixo a resolução do item 1):

$\exists\ \ log_{(3x-2)}243\ \ \ \Leftrightarrow$

$0<3x-2\neq 1\ \ \ \Leftrightarrow$

$3x-2>0\ \ \ \land\ \ \ 3x-2\neq 1\ \ \ \Leftrightarrow$

$3x>2\ \ \ \land\ \ \ 3x\neq 3\ \ \ \Leftrightarrow$

$x>\cfrac{2}{3}\ \ \ \land\ \ \ x\neq1\ \ \ \ \ \ (i)$

Lembrando que $x$ é um número real que satisfaz $(i)$, temos que o conjunto constituído por todos os possíveis valores da variável livre $x$ $\left($domínio $D(f)$ da função $f(x)=log_{(3x-2)}243$$)$ é dado por:

$D(f)=\left\{x\ \in\ \mathbb{R}:\ x>\cfrac{2}{3}\ \ \land\ \ x\neq 1\right\}$

Para a resolução do item 2) deve-se apresentar duas das propriedades notáveis dos logaritmos. Considere o logaritmo do quociente $log_{a}\left(\cfrac{b}{c}\right)$, sendo $b$ e $c$ reais positivos, $a$ positivo e distinto da unidade $\left(b,\ c\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \land\ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus \{1\}\right)$, e o logaritmo da potência $log_{a}\left(b)^{k}$; $a$, $b$ são números reais que satisfazem as condições acima e $k$ é um real arbitrário $\left(k\ \in\ \mathbb{R}\right)$. As duas propriedades acima garantem as seguintes igualdades:

$log_{a}\left(\cfrac{b}{c}\right)=log_{a}(b)-log_{a}(c);\ \forall\ b,\ c\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \land\ \forall\ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus \{1\}$

$log_{a}\left(b\right)^{k}=k \cdot log_{a}(b);\ \forall\ b\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}},\ \forall\ a\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus \{1\}\ \land\ \forall\ k\ \in\ \mathbb{R}$

O item 2) pede o desenvolvimento logarítmico (transformação em diferença de logaritmos) da expressão logarítmica $log_{2}\left(\cfrac{\sqrt[5]{X}}{Y^{3}}\right)$. Seu desenvolvimento encontra-se logo abaixo:

$log_{2}\left(\cfrac{\sqrt[5]{X}}{Y^{3}}\right)=log_{2}\left(\sqrt[5]{X}\right)-log_{2}\left(Y^{3}\right)\ \ \ \Leftrightarrow$

$log_{2}\left(\cfrac{\sqrt[5]{X}}{Y^{3}}\right)=log_{2}\left(X\right)^{\cfrac{1}{5}}-log_{2}\left(Y\right)^{3}\ \ \ \Leftrightarrow$

$log_{2}\left(\cfrac{\sqrt[5]{X}}{Y^{3}}\right)=\cfrac{1}{5}\ log_{2}\left(X\right)-3\ log_{2}\left(Y\right)$.

Um grande abraço!