Question

1)Determine o vértice, os zeros e gráfico das funções abaixo:
A) f(x)= x² - 5x -24
B) f(x)=4x² - x +2
C) f(x)= - x² - 10x

2) Determine o vértice da parábola que corresponde à função f (x) = (x-2)² + 2

Preciso das respostas para hoje ainda, pfvvvv alguém de bom coração e bom na matemática me ajudaaa​

Answer 1

Resposta:

1) A) $x_{1} =8$; $x_{2} =-3$; $V:(\frac{5}{2} ;-\frac{121}{4} )$; B) Conj. Vazio; $V:(\frac{1}{8} ;\frac{31}{16} )$; C) $x_{1} =-10$; $x_{2} =0$; $V:(-5; 25 )$. 2) $V:(2; 2 )$

Explicação passo a passo:

Bom, já aviso, não sei se o método que usarei para descobrir os vértices é o mesmo que você está estudando, mas o resultado com certeza estará correto!

Por se tratar de equação de 2º grau vamos utilizar Bhaskara para encontrarmos os "zeros" ou raízes, que nada mais é do que os pontos em que a função corta o eixo"x", ou seja, "y" é igual a zero.

Para descobrir qual é o vértice, podemos utilizar o conceito de derivada da função, que nos dá o coeficiente angular da reta que tangencia a função num ponto qualquer, logo, se igualarmos esse coeficiente angular (derivada da função) a zero teremos uma reta na horizontal, ou seja, em um ponto máximo ou mínimo da função.

Vamos à resolução:

1)

A)

$f(x)=x^{2} -5x-24$

Encontrando as raízes:

$x=\frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$x_{1} =\frac{5+\sqrt{25+96} }{2}$

$x_{1} =\frac{5+\sqrt{121} }{2}$

$x_{1} =\frac{5+11 }{2}=\frac{16}{2}$

$x_{1} =8$

$x_{2} =\frac{5-11 }{2}=-\frac{6}{2}$

$x_{2} =-3$

Encontrando o Vértice:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Aplicando o limite na função:

$f(x)=x^{2} -5x-24$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(x+\Delta x)^2-5(x+\Delta x)-24]-(x^{2} -5x-24)}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} -5x-5\Delta x-24-x^{2} +5x+24}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x+\Delta x^{2} -5\Delta x}{\Delta x}$

$\lim_{\Delta x \to 0} 2x+\Delta x -5$

Com Δx tendendo a zero, temos:

$\frac{dy}{dx} =2x-5$

Essa é a derivada da função. Agora, como dito, vamos igualar a zero para encontrar o ponto máx./mín ou seja, o vértice:

$\frac{dy}{dx} =0\\2x-5=0$

$x=\frac{5}{2}$

Substituindo em $f(x)$ para acharmos o ponto das ordenadas:

$f(x)=x^{2} -5x-24$

$f(x)=(\frac{5}{2}) ^{2} -5(\frac{5}{2} )-24$

$f(x)=\frac{25}{4} -\frac{25}{2} -24$

$f(x)=-\frac{121}{4}$

O ponto do vértice é:

$V:(\frac{5}{2} ;-\frac{121}{4} )$

Gráfico anexo!

B)

$f(x)=4x^{2} -x+2$

Encontrando as raízes:

$x=\frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$x_{1} =\frac{1+\sqrt{-31} }{8}$

Temos uma raiz quadrada de número negativo, quando caímos em números imaginários a função não tem raízes, ou seja, não corta o eixo "x" em momento algum, chamamos de conjunto vazio.

Encontrando o Vértice:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Aplicando o limite na função:

$f(x)=4x^{2} -x+2$

$\frac{dy}{dx} =8x-1$

Essa é a derivada da função. Agora, como dito, vamos igualar a zero para encontrar o ponto máx./mín ou seja, o vértice:

$\frac{dy}{dx} =0\\8x-1=0$

$x=\frac{1}{8}$

Substituindo em $f(x)$ para acharmos o ponto das ordenadas:

$f(x)=4^{2} -x+2$

$f(x)=4.(\frac{1}{8} )^{2} -\frac{1}{8} +2$

$f(x)=\frac{1}{16} -\frac{1}{8} +2$

$f(x)=\frac{121}{64}$

O ponto do vértice é:

$V:(\frac{1}{8} ;\frac{31}{16} )$

Gráfico anexo!

C)

$f(x)=-x^{2} -10x$

Encontrando as raízes:

$x=\frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$x_{1} =\frac{10+\sqrt{100} }{-2}$

$x_{1} =\frac{10+10}{-2}$

$x_{1} =-10$

$x_{2} =\frac{10-\sqrt{100} }{-2}$

$x_{2} =\frac{10-10 }{-2}$

$x_{2} =0$

Encontrando o Vértice:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Aplicando o limite na função:

$f(x)=-x^{2} -10x$

$\frac{dy}{dx} =-2x-10$

Essa é a derivada da função. Agora, como dito, vamos igualar a zero para encontrar o ponto máx./mín ou seja, o vértice:

$\frac{dy}{dx} =0\\-2x-10=0$

$x=-5$

Substituindo em $f(x)$ para acharmos o ponto das ordenadas:

$f(x)=-(-5)^{2} -10.(-5)$

$f(x)=-25+50$

$f(x)=25$

O ponto do vértice é:

$V:(-5; 25 )$

Gráfico anexo!

2)

Encontrando o Vértice:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Aplicando o limite na função:

$f(x)=(x-2)^{2} +2$

aplicando o produto notável:

$f(x)=x^{2} -4x+6$

$\frac{dy}{dx} =2x-4$

Essa é a derivada da função. Agora, como dito, vamos igualar a zero para encontrar o ponto máx./mín ou seja, o vértice:

$\frac{dy}{dx} =0\\2x-4=0$

$x=2$

Substituindo em $f(x)$ para acharmos o ponto das ordenadas:

$f(x)=(2)^{2} -4.(2)+6$

$f(x)=4-8+6$

$f(x)=2$

O ponto do vértice é:

$V:(2; 2 )$

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