Question

1) Determine o valor de $f^{-1}(1)$ da função $f(x) = 2021x + \ln(x)$

Galera, eu fico paralisado quando chega nessa parte:
$f(x) = 2021x + \ln(x) \\ y = 2021x + \ln(x) \\ x = 2021y + \ln(y) \\ \ln(y) = x - 2021y \\ \log_{e}(y) = x - 2021y \\ y = e {}^{x - 2021y} \\ y = \frac{e {}^{x } }{e {}^{2021y} } \\ \boxed{y.e {}^{2021y} = e {}^{x} }??eai??$
O que eu faço dps?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Função Inversa .

Dada a função definida por :

$\sf{ \iff f(x)~=~2021x + \ln(x) }$

• Para achar a inversa de f , primeiramente vamos reescrever a função f de seguinte maneira :

$\iff \sf{ y~=~ 2021x + \ln(x) }$

• Entao Vamos trocar o y por x e isolar novamente o y :

$\iff \sf{ x ~=~2021y + \ln(y) }$

$\iff \sf{ ln(y)~=~x - 2021y }$

• Aplicando a definição dos logaritmos vamos ter :

$\iff \sf{ y~=~ e^{x - 2021y}=e^x*e^{-2021y} }$

$\iff \sf{ y*e^{2021y}~=~e^x }$

• NB : daquí vamos multiplicar ambos membros por 2021 :

$\iff \sf{ \red{2021}y*e^{2021y}~=~\red{2021}*e^x }$

• Vamos aplicar a funcão W de LAMBERT , que diz :

$\iff \boxed{\boxed {\sf{ W (u*e^u)~=~u } } }$

• Então vamos aplicar isso em ambos membros :

$\iff \sf{ W\Big( 2021y*e^{2021y}\Big)~=~ W\Big (2021e^x\Big) }$

• Segundo a regra ficamos com :

$\iff \sf{ 2021y ~=~ W\Big(2021e^x\Big) }$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{ \sf{ y~=~ \dfrac{ W\Big(2021e^x\Big) }{2021} } } } }$

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Espero ter ajudado bastante !)

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