Question

1. Determine o valor de n que satisfaz: Pn = 12C(n, 2)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{n=5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão de combinatória, devemos relembrar alguns conceitos.

Sabemos que $P_n$ é a permutação simples de $n$ elementos, dada por $n!$.

A combinação $\mathtt{C_p^n}$ pode ser expressada pelo número binomial $\binom{n}{p}$ ou pela expressão $\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}$.

Então, substitua as expressões na equação que buscamos

$P_n=12\cdot\mathtt{C_2^n}\\\\\\ n!=12\cdot\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!}$

Lembre-se que $n!=n\cdot(n-1)\cdots 1$, logo

$n!=12\cdot\dfrac{n!}{2\cdot(n-2)!}$

Multiplique cruzado, para nos livrarmos dos denominadores

$n!\cdot{2\cdot(n-2)!}=12\cdot n!$

Simplifique a equação por um fator $2n!$, comum a ambos os lados

$(n-2)!=6$

Sabemos que $3!=6$, logo

$(n-2)!=3!$

Isto significa que

$n-2 =3$

Some 2 em ambos os lados da equação a fim de isolar $n$

$n=5$

Este é o valor de $n$ que satisfaz a equação.