Question

1- ) Determine o valor de m e n para que z1 = (m + 2) + 5i seja igual a z2 = 6 + (n + 2)i.

2-esolva a equação: x

2 + 4x – 13 = 0, sabendo que x ε C.

3- Dados os complexos: z1 = 2 + 3i, z2 = 3 + 4i e z3 = 10 faça as multiplicações a seguir:
a) z1 • z2

b) z3 • z1

5) Dados os complexos z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 2i, efetue a divisão a seguir:
a) z1
b) z2

Answer 1

⠀⠀Resolvendo cada questão, teremos:

• 1. m = 4 e n = 3
• 2. S = {2 – 3i ; 2 + 3i}
• 3. a) z₁ · z₂ = – 6 + 17i e b) z₃ · z₁ = 20 + 30i
• 5. z₁ / z₂ = (5 – i)/4

⠀

⠀⠀Essa tarefa engloba questões envolvendo o conjunto dos números complexos (ℂ). Um número complexo em si é a soma entre um número real e um número imaginário; podemos representá-lo por “z”, onde a: parte real e b: parte imaginária, logo z = a + bi.

• Obs.¹: “i” é a unidade imaginária cuja tem valor igual a $\footnotesize\sqrt{-\,1}$;
• Obs.²: os valores atribuídos à “a” e “b” pertencem aos reais (a, b ∈ ℝ), contudo, “a” é a parte real por ser só um valor real e “b” é a parte imaginária por ser multiplicado pela unidade imaginária.

⠀

Questão 1.

⠀⠀Nessa questão foi-nos dado z₁ = (m + 2) + 5i e z₂ = 6 + (n + 2)i, onde precisamos encontrar o valor de m e n para que tenhamos z₁ = z₂.

⠀⠀Veja que igualando esses dois números complexos teremos (m + 2) + 5i = 6 + (n + 2)i, logo:

⠀

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf m+2=6\\\\\\\sf5=n+2\end{cases}\Rightarrow\ \ \ \begin{cases}\sf m=6-2\\\\\\\sf n=5-2\end{cases}\Rightarrow\ \ \ \begin{cases}\sf m=4\\\\\\\sf n=3\end{cases}\end{array}$

⠀

⠀⠀Portanto, m = 4 e n = 3 para que os dois números complexos dados sejam iguais.

⠀

⠀

Questão 2.

⠀⠀Foi-nos dado a equação quadrática – x² + 4x – 13 = 0 para resolver tendo em mente que x ∈ ℂ (x pertence ao conjunto dos números complexos).

• Obs.: A equação que vemos na questão é x² + 4x – 13 = 0, contudo suas raízes são reais, então creio que a equação – x² + 4x – 13 = 0 seja a correta por ter raízes no conjunto dos números complexos.

Vamos resolvê-la por Bhaskara e, ao nos depararmos com a raiz quadrada de um número negativo, estaremos utilizando i = $\footnotesize\sqrt{-\,1}$ de modo a obter as raízes pertencentes ao ℂ:

⠀

$\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{16-4(-\,1)(-\,13)}}{2(-\,1)}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{16-52}}{-\,2}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{-\,36}}{-\,2}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{-\,1\cdot36}}{-\,2}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm\sqrt{-\,1}\cdot\sqrt{36}}{-\,2}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm i\cdot6}{-\,2}\\\\\\\sf x=\dfrac{-\,4\pm 6i}{-\,2}\\\\\\\sf\implies~~~~x_1=\dfrac{-\,4+6i}{-\,2}=2-3i\\\\\\\sf\implies~~~~x_2=\dfrac{-\,4-6i}{-\,2}=2+3i\end{array}$

⠀

⠀⠀Portanto, sendo que x ∈ ℂ o conjunto solução dessa equação é S = {2 – 3i ; 2 + 3i}.

⠀

⠀

Questão 3.

⠀⠀Dado z₁ = 2 + 3i, z₂ = 3 + 4i e z₃ = 10, devemos efetuar as multiplicações a seguir (basta aplicar a propriedade distributiva)

⠀

Item a)

$\begin{array}{l}\sf z_1\cdot z_2=(2+3i)\cdot(3+4i)\\\\\sf z_1\cdot z_2=6+8i+9i+12i^2\\\\\sf z_1\cdot z_2=6+17i+12\cdot(\sqrt{-\,1})^2\\\\\sf z_1\cdot z_2=6+17i+12\cdot(-\,1)\\\\\sf z_1\cdot z_2=6+17i-12\\\\\!\boxed{\sf z_1\cdot z_2=-\,6+17i}\end{array}$

⠀

Item b)

$\begin{array}{l}\sf z_3\cdot z_1=10\cdot(2+3i)\\\\\!\boxed{\sf z_3\cdot z_1=20+30i}\end{array}$

⠀

⠀

Questão 5.

⠀⠀Temos z₁ = 3 + 2i e z₂ = 2 + 2i e desejamos calcular a divisão a seguir (essa questão deve estar incompleta, todavia estarei calculando apenas z₁ / z₂, então por favor favor explicite nos comentários):

⠀

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{3+2i}{2+2i}\\\\\sf\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{3+2i}{2+2i}\cdot\dfrac{2-2i}{2-2i}\\\\\sf\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(3+2i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}\\\\\sf\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{6-6i+4i-4i^2}{2^2-(2i)^2}\\\\\sf\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{6-2i-4i^2}{4-4i^2}\\\\\sf\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{6-2i-4(\sqrt{-\,1})^2}{4-4(\sqrt{-\,1})^2}\\\\\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{6-2i-4(-\,1)}{4-4(-\,1)}\\\\\!\boxed{\sf\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{6-2i+4}{4+4}=\dfrac{5-i}{4}}\end{array}$

⠀

• Obs.: na segunda linha multiplicamos toda a fração pelo conjugado do denominador.

⠀⠀Portanto, o quociente dessa divisão é igual a (5 – i)/4 (ou 5/4 – i/4).

⠀

$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

Veja mais sobre:

brainly.com.br/tarefa/38101566

brainly.com.br/tarefa/38375996

brainly.com.br/tarefa/35974984

⠀

                        $\large\boldsymbol{B\theta\eta s~\epsilon s\tau\upsilon\delta\theta s~\epsilon~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!}$