Question

1- Determine o sétimo termo da PG ( 512, 256,..)
2- Calcule a soma dos 8 primeiro termos da PG ( -5, 10, -20,..)
3- Determine a soma dos termos da PG ( 1,3,9,..729)

Answer 1

Considerações:
a₁ = primeiro termo
q = razão ( quociente )
An = último termo da sequência
n = número de termos
Sn = soma dos "n" primeiros termos


1- Determine o sétimo termo da P.G. ( 512, 256,... ) 

Informações:
$a_{1}=512 \\ \\ q= \frac{256}{512} = \frac{1}{2} \\ \\ n=7$


Basta que eu substitua esses dados na fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

Cálculo:
$A_n=a_1*q^{n-1} \\ A_7=512*( \frac{1}{2} )^{7-1} \\ A_7=512*( \frac{1}{2} )^6 \\ A_7=512* \frac{1}{64} \\ A_7= \frac{512}{64} \\ \boxed{\boxed{A_7=8}}$



2 - Calcule a soma dos 8 primeiro termos da P.G. ( -5, 10, -20,... )

Informações:
$a_1=-5 \\ \\ q= \frac{10}{-5} =-2 \\ \\ n=8$

Basta que eu substitua esses dados na fórmula da soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica finita.

Cálculo:
$S_n= \frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \\ \\ S_8= \frac{-5[(-2)^8-1]}{-2-1} \\ \\ S_8= \frac{-5[256-1]}{-3} \\ \\ S_8= \frac{-5[255]}{-3} \\ \\ S_8= \frac{-5[255]}{-3} \\ \\ S_8= \frac{-1275}{-3} \\ \\ \boxed{\boxed{S_8= 425}}$



3 - Determine a soma dos termos da P.G. ( 1, 3, 9 ,..., 729 )

Informações:
$a_1=1 \\ \\ q= \frac{9}{3}=3 \\ \\ n=? \\ \\ a_n=729$

Saiba antes que terei de achar o número de termos dessa P.G. Mas para quê?Resposta: porque o número de termos é necessário para ser substituído na fórmula da  soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica finita. E para achar o número de termos usarei a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Basta substituir os dados que tenho conhecimento - os que estão contidos nas informações.

Cálculo - para achar o número de termos
$A_n=a_1*q^{n-1} \\ 729=1*3^{n-1} \\ \frac{729}{1} =3^{n-1} \\ 729=3^{n-1} \\ \not3^6=\not3^{n-1} \\ 6=n-1 \\ n=6+1 \\ \boxed{\boxed{n=7}}$

Cálculo - para achar soma dos sete primeiros termos
$S_n= \frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \\ \\ S_7= \frac{1[(3)^7-1]}{3-1} \\ \\ S_7= \frac{1[2187-1]}{2} \\ \\ S_7= \frac{1[2186]}{2} \\ \\ S_7= \frac{2186}{2} \\ \\ \boxed{\boxed{S_7= 1093}}$






Questões Extras:
2 - Calculando a soma dos vinte primeiros termos da P.A. ( 1, 2, 3 ,..., 20 ) obtemos?

Informações:
$a_1=1 \\ r=2-1=1 \\ n=20 \\ a_n=20 \\ \\ S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ S_2_0= \frac{(1+20)*20}{2} \\ \\ S_2_0= \frac{(21)*\not20}{\not2} \\ \\ S_2_0= 21*10 \\ \\ \boxed{\boxed{S_2_0=210}}$



3 - O termo geral da P.G. ( -2, -6, -18,... )?

Informações:
$a_1=-2 \\ \\ q= \frac{-6}{-2} = 3$

Basta que eu substitua esses dados na fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. E pronto.

Cálculo:
$A_n=a_1*q^{n-1} \\ \boxed{\boxed{A_n=-2*3^{n-1}}}$