Question

1 ) Determine o segundo termo da expressão:(x+2) elevado a 3.


2 ) Determine o termo independente da expressão: (2x + 1) elevado a 3.

Answer 1

Olá, boa tarde ^_^.

Vamos usar o binômio de newton para resolver essas questões :v.

Poderíamos resolver por produtos notáveis, mas pelo enunciado dá pra notar que tem um binômio de newton embutido.

Vou resolver primeiro a segunda questão.

$Tp + 1 = \binom{n}{p} .(a) {}^{n - p} .(b) {}^{p} \\ \\ (2x + 1) {}^{3} \rightarrow \: a \: = 2x, \: b \: = 1,n = 3 \\ \\ \boxed{Tp + 1 = \binom{3}{p} .(2x) {}^{3 - p} .1 {}^{p} }$

Note que temos um termo que tem (x)³-p

A questão perde o termo independente, ou seja, o valor de x tem que estar elevado a 0, então vamos pegar essa expressão do expoente e igualar a 0.

3 - p = 0

-p = - 3

-p = -3 . (-1)

p = 3

Sabendo o valor de "p" vamos substituir na equação.

$T = \binom{3}{3} .(2x) {}^{3 - 3} .1{}^{3} \\ \\ T = \binom{3}{3} .(2x) {}^{0} .1$

Agora vamos calcular o valor do binômio.

$\binom{n}{p} = \frac{n!}{ p! (n - p) !} \\ \\ \binom{3}{3} = \frac{3!}{3 !(3 - 3)!} \\ \\ \binom{3}{3} = \frac{3!}{3 ! 1!} \\ \\ \binom{3}{2} = \frac{3.2.1}{3.2.1.1} = \frac{6}{6} = 1$

Com o valor do binômio em mãos, vamos substituir no seu antigo local.

Mas antes, tenho uma curiosidade a te falar, nem era preciso calcular esse binômio, pois binômio desse estilo em que a parte de baixo é igual a de cima o valor é igual a 1.

$T= 1.1.1 \\ \\ \boxed{T = 1\rightarrow \: resposta}$

Agora vamos fazer a primeira questão.

A primeira é mais fácil pois ele fornece o valor da posição.

p + 1 = 2

p = 2 - 1

p = 1

Substituindo na fórmula:

$T = \binom{n}{p} .(a) {}^{n - p} .b {}^{p} \\ \\ (x + 2) {}^{3} \rightarrow \: a = x, b = 2, n = 3\\ \\ T = \binom{3}{1} .(x) {}^{3 - 1} .(2) {}^{1} \\ \\ T = 3.x {}^{2} .2 \\ \\ \boxed{T = 6 {x}^{2} \rightarrow \: resposta}$

Esse tipo de Binômio também tem um cálculo que não precisa ser feito, pois todo binômio sobre 1, é ele mesmo.

Vou fazer através de produtos notáveis também:

1) (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Note que o segundo termo é 6x²

2) (2x + 1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1

Note que o termo independente é 1

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️